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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Questões para guiar sua revisão - Ex. 11

Como encontramos equações para retas, segmentos de reta e

planos no espaço? Dê exemplos. Podemos representar uma

reta no espaço por uma única equação? E um plano?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos demonstrar como encontramos equações para retas, segmentos de retas e plano no espaço. Não se preocupe, teremos um exemplo para ajudar na compreensão. Iremos explicar como você pode expressar uma reta e um plano no espaço com uma única equação. Vamos lá!

Passo 2

Vamos ver juntos! Para isso iremos começar o exercício com dois pontos P e P 0 .

P ( x , y , z ) P 0 x 0 , y 0 , z 0

Suponha que uma linha passe pelos pontos, temos um vetor P 0 P → , este vetor é paralelo ao vetor v .Então P 0 P → = t v

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = t v 1 , v 2 , v 3   ( x , y , z ) = x 0 , y 0 , z 0 + t v 1 , v 2 , v 3

Passo 3

Se r ( t ) é o vetor posição do ponto P na linha e r 0 é o vetor no ponto P 0 , então a equação pode ser reescrita de forma que:

  ( x , y , z ) = x 0 , y 0 , z 0 + t v 1 , v 2 , v 3 r ( t ) = r 0 + t v

E essa é a equação da reta descrita em um plano.

Passo 4

Um segmento de reta liga o ponto P ao ponto P 0 , para encontrar sua equação vamos parametrizar em função de t , e chamaremos o segmento de L , então:

L = u + t v L = x 1 , x 2 , x 3 + t v 1 , v 2 , v 3

Passo 5

Veja bem! Vamos supor um plano M passando pelo ponto P 0 e é normal ao vetor n = A i + B j + C k . Então M é um conjunto de pontos P para o qual P 0 P → é ortogonal a n . Como n ⋅ P 0 P → = 0 a equação é descrita por:

  ( A i + B j + C k ) ⋅ x - x 0 i + y - y 0 j + z - z 0 k = 0 A x - x 0 + B y - y 0 + C z - z 0 = 0

Passo 6

Portanto, a equação do plano que passa por P 0 x 0 , y 0 , z 0 normal a n = A i + B j + C k deve satisfazer:

n ⋅ P 0 P → = 0 A x - x 0 + B y - y 0 + C z - z 0 = 0 A x + B y + C z = D D = A x 0 + B y 0 + C z 0

Acompanhe! Podemos escrever a reta e o plano em uma única equação. Para a reta teremos A x + B y = C e para o plano teremos A x + B y + C z = D .

Passo 7

Para o nosso exemplo, vamos encontrar a equação parametrizada da reta que passa pelos pontos P ( 2,3 , 1 ) e Q ( 4 , - 1,1 ) .Começamos com as equações da reta:

x = 2 + 4 t y = 3 - t z = 1 + t

Reescrevendo teremos o seguinte resultado:

( x , y , z ) = ( 2 + 4 t , 3 - t , 1 + t )

Resposta

Resposta nos passos.