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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.1 - Ex. 58

Encontre os centros e os raios das esferas nos Exercícios 55-58.

3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 + 2 y - 2 z = 9

Passo 1

Eae gente, tudo bem?! Nesse exercício precisamos completar quadrados, ou seja, fazer surgir os quadrados que falta no produto notável, pois a equação da esfera é formada por três produtos notáveis.

Então temos que retornar da seguinte maneira: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , e fazer isso com x, y e z, para deixar de acordo com a equação da esfera e descobrir o raio e o centro.

x - x o 2 + y - y o 2 + z - z o 2 = r 2

Passo 2

Primeiro, vamos juntar x com x, y com y e z com z.

3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 + 2 y - 2 z = 9

Vamos dividir tudo por 3:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 3 y - 2 3 z = 3

x 2 + y 2 + 2 3 y + z 2 - 2 3 z = 3

Agora, devemos completar os quadrados, lembrando, se algo aparece de um lado, deve aparecer também do outro.

x 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 0 2 + y 2 + 2 ⋅ y ⋅ 1 3 + 1 3 2 + z 2 + 2 ⋅ z ⋅ - 1 3 + - 1 3 2

= 3 + 1 3 2 + - 1 3 2

x 2 + y + 1 3 2 + z - 1 3 2 = 29 9

E chegamos na equação da esfera, agora podemos retirar o centro e o raio.

Passo 3

x 2 + y + 1 3 2 + z - 1 3 2 = 29 9

x - 0 2 + y - - 1 3 2 + z - 1 3 2 = 29 9 2 = 29 3 2

Centro: 0 , - 1 3 , 1 3 .

Raio: 29 3 .

Resposta

Centro: 0 , - 1 3 , 1 3 .

Raio: 29 3 .