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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.5 - Ex. 46

Encontre a distância entre a reta x = 2 + t , y = 1 + t , z = - ((1)/(2)) - ((1)/(2)) t e o plano x + 2 y + 6 z = 10 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos dois planos, vamos denotá-los da seguinte forma:

L : x = 2 + t , y = 1 + t , z = - (1)/(2) t - (1)/(2)

P : x + 2 y + 6 z = 10

Se S ( x_S , y_S , z_S ) é um ponto no espaço e P = (x_P , y_P , z_P) é um ponto no plano A x + B y + C z = D , então a distância perpendicular entre S e o plano é dada por

d = |vec P S * (n)/(|n|)| , o n d e n = A i + B j + C k

Colocando t = 0 na equação da reta, nós temos que

x = 2 , y = 1 , z = - (1)/(2)

Com isso, temos o seguinte ponto

S = (2 , 1 , - (1)/(2))

Passo 2

Indo para P , colocando x = 0 e y = 0 na equação de P , nós temos que

P_2 : 0 + 2 (0) + 6 z = 10 , -> z = (10)/(6)

Com isso, temos o seguinte ponto

S = (0,0 , (10)/(6))

Agora podemos obter d usando P , S e n (o vetor normal para P ), da seguinte forma

d = |vec P S * (n)/(|n|)|

Substituindo os termos, nós temos que

d = |〈2 - 0 , 1 - 0 , - (1)/(2) - (10)/(6)〉 * (〈1,2 , 6〉)/(|〈1,2 , 6〉|)| = (2 + 2 - 13)/(|〈1,2 , 6〉|)

Com isso, temos o seguinte resultado

d = |(- 9)/(sqrt(1^2 + 2^2 + 6^2))| = (9)/(sqrt(41))

Resposta

d = (9)/(sqrt(41))