Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

L d i d t + R i = E t

onde L (Henry) é a indutância, R (Ohms) a resistência, i (Ampère) é a corrente e E (Volt) a força eletromotriz. Resolva a equação supondo

a) L e R constantes não-nulas, E t = E 0 para todo t e i = 0 para t = 0 .

Passo 1

Dividindo a EDO original por L , obtemos

d i d t + R L   i = E t L

Essa é uma equação do tipo

d i d t + a i = f t

Para resolver essa equação, calculamos o fator integrante:

I = e ∫ a   d t = e a t

Como a = R / L :

I = e R L   t

Multiplicando a equação por esse fator:

d i d t e R L   t + R L   i   e R L   t = E t L e R L   t

Passo 2

Note que o lado direito é fatorado como

d i d t e R L   t + R L   i   e R L   t = d d t i   e R L   t

Assim,

d d t i   e R L   t = E t L e R L   t

Integrando dos dois lados:

i   e R L   t = 1 L ∫ E t   e R L   t   d t

Passo 3

Nesse caso, E t = E 0 :

1 L ∫ E t   e R L   t   d t = E 0 L   ∫ e R L   t   d t = E 0 L ⋅ L R   e R L   t + C = E 0 R e R L   t + C

Logo,

i   e R L   t = E 0 R e R L   t + C

Ou ainda,

i t = E 0 R + C e - R L   t

Passo 4

Como i 0 = 0 :

0 = E 0 R + C ⇒ C = - E 0 R

Portanto,

i t = E 0 R 1 - e - R L   t

Resposta

i t = E 0 R 1 - e - R L   t

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