Enunciado

(b) Escreva a série de potências que define a função f ’ e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)

f x = ∑ n = 1 + ∞ x n n 2

Passo 1

Ufa!!! Até que fim chegamos no último item dessa questão, vamos lá

Então é isso pessoal, para determinar primeiro a derivada da potência de séries aplicando o teorema 13.2.1;

Se tivermos uma série ∑ n = 0 + ∞ c n x n sendo uma série de potencias com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série ∑ n = 1 + ∞ n c n x n - 1 também terá R como raio de convergência.

Depois mais uma vez utilizaremos o teorema da razão onde o l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para descobrirmos o domínio de   f ’

Obs.: Alguns dos procedimentos desse item são idênticos aos que já fizemos no item 5b, mas colocarei aqui para não perderem tempo voltando para conferir.

Vamos com tudo pessoal!

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo

f ' x = ∑ n = 1 + ∞ n x n - 1 n 2 = ∑ n = 1 + ∞ x n - 1 n

Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u n = x n - 1 n

u n + 1 = x n n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n n + 1   x n n + 1 = l i m n → ∞ x n n + 1 ∙ n x n - 1

= l i m n → ∞ n n + 1 ∙ x n x n - 1 = l i m n → ∞ n n + 1 ⋅ 1 x - 1 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 n ⋅ x = x

Assim como a série é completamente convergente quando x < 1

Portanto o raio de convergência é 1

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

É importante notar que a série é absolutamente convergente quando o x < 1 , que por ventura o raio de convergência é igual a 1. Assim devemos considerar o intervalo - 1 < x < 1 . Através disso, vamos analisar a série de acordo com a serie apresentadas onde

x = ± 1 : f ( ± 1 ) = ∑ n = 1 + ∞ ± 1 n é uma p-série (p=2), x n - 1 n

Portanto o domínio de f é [ - 1 ; 1 ]

Então é isso pessoal espero que tenham compreendido!!!!

Até a próxima pessoal ☺

Resposta

[ - 1 ; 1 ]

Resposta

1