Enunciado
Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 13.2 - Ex. 1c
(b) Escreva a série de potências que define a função e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)
Passo 1
Ufa!!! Até que fim chegamos no último item dessa questão, vamos lá
Então é isso pessoal, para determinar primeiro a derivada da potência de séries aplicando o teorema 13.2.1;
Se tivermos uma série sendo uma série de potencias com um raio de convergência então poderemos determinar uma derivada da série também terá R como raio de convergência.
Depois mais uma vez utilizaremos o teorema da razão onde o , para descobrirmos o domínio de
Obs.: Alguns dos procedimentos desse item são idênticos aos que já fizemos no item 5b, mas colocarei aqui para não perderem tempo voltando para conferir.
Vamos com tudo pessoal!
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo
Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:
Substituindo os termos encontrados no limite.
Assim como a série é completamente convergente quando
Portanto o raio de convergência é 1
Passo 3
Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.
É importante notar que a série é absolutamente convergente quando o que por ventura o raio de convergência é igual a 1. Assim devemos considerar o intervalo . Através disso, vamos analisar a série de acordo com a serie apresentadas onde
: é uma p-série (p=2),
Portanto o domínio de f é
Então é isso pessoal espero que tenham compreendido!!!!
Até a próxima pessoal ☺