Enunciado
Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 13.2 - Ex. 5b
(b) Escreva a série de potências que define a função e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)
Passo 1
Olaa!!! Tudo beleza pessoal!
Para aqueles que já viram essas questões, já perceberam que o item (b) deu uma maneirada para nós, no enunciado já deixou algumas informações para nós resolvermos.
Olha só, para determinar o raio de convergência, ela disse que devemos utilizar o teorema da secção 13.1, mais conhecida de teorema da razão onde o , para isso devemos considerar que se;
-> ela será convergente para todos os de x
-> (exceto quando x = a)
-> para , por análise poderemos dizer o domínio da nossa série
Não esqueçamos que deixou claro que devemos utilizar outro teorema pra obter a resposta, que foi o teorema 13.2.1 que afirma o seguinte olha só:
Se tivermos uma série sendo uma série de potências com um raio de convergência então poderemos determinar uma derivada da série também terá R como raio de convergência.
Vamos com tudo pessoal!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo
Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:
Substituindo os termos encontrados no limite.
Olha só pessoal!!!
Como o limite torna-se 0 (zero), então para a potência de série converge para todos os valores de , pois , logo poderemos afirmar que o raio de convergência é .
Então é isso pessoal!!Espero que tenham compreendido e nos vemos na próxima.