Enunciado

(b) Escreva a série de potências que define a função f ’ e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)

f x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n n ! 2

Passo 1

Olá!!! Tudo beleza pessoal!

Para aqueles que já viram essas questões, já perceberam que o item (b) deu uma maneirada para nós, no enunciado já deixou algumas informações para nós resolvermos.

Olha só, para determinar o raio de convergência, ela disse que devemos utilizar o teorema da secção 13.1, mais conhecida de teorema da razão onde o l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para isso devemos considerar que se;

-> L   =   0 ela será convergente para todos os de x

-> L = +   ∞ (exceto quando x = a)

-> L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por análise poderemos dizer o domínio da nossa série

Não esqueçamos que deixou claro que devemos utilizar outro teorema pra obter a resposta, que foi o teorema 13.2.1 que afirma o seguinte olha só:

Se tivermos uma série ∑ n = 0 + ∞ c n x n sendo uma série de potências com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série ∑ n = 1 + ∞ n c n x n - 1 também terá R como raio de convergência.

Vamos com tudo pessoal!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo

f ' x = ∑ n = 2 ∞ 2 n ∙ x 2 n - 1 n ! 2

Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u n = 2 n ∙ x 2 n - 1 n ! 2

u n + 1 = 2 ( n + 1 ) ∙ x 2 n + 1 [ n + 1 ! ] 2

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ 2 ( n + 1 ) ∙ x 2 n + 1 [ n + 1 ! ] 2   2 n ∙ x 2 n - 1 n ! 2 = l i m n → ∞ 2 ( n + 1 ) ∙ x 2 n + 1 [ n + 1 ! ] 2 ∙ n ! 2 2 n ∙ x 2 n - 1

= l i m n → ∞ n ! 2 [ n + 1 ! ] 2 ∙ n + 1 n ∙ x 2 n + 1 x 2 n - 1 = l i m n → ∞ n ! n + 1 ! 2 ∙ n + 1 n ∙ x + 1 x - 1

l i m n → ∞ n ! n + 1 ⋅ n ! 2 ∙ n + 1 n ∙ x ² = l i m n → ∞ 1 n + 1 ⋅ n x 2 = 0

Olha só pessoal!!!

Como o limite torna-se 0 (zero), então para a potência de série converge para todos os valores de x , pois 0 < 1 , logo poderemos afirmar que o raio de convergência é + ∞ .

Então é isso pessoal!!Espero que tenham compreendido e nos vemos na próxima.

Resposta

+ ∞