Nos Exercícios 15-28, resolva as inequações e faça um esboço do gráfico da solução na reta real.

2 x 2   +   1   < 9 x   - 3

Passo 1

Primeiramente, devemos notar que a inequação acima é uma inequação de 2º grau. Ela pode ser reescrita como

2 x 2   +   1 - 9 x   + 3   < 9 x   - 3 - 9 x   + 3   ⇒ 2 x 2   - 9 x   + 4 < 0

onde somamos - 9 x e 3 em ambos os lados da inequação. Agora precisamos obter a solução de 2 x 2   - 9 x   + 4 = 0 para fatorar o lado esquerdo da inequação. Pela fórmula de Bhaskara, temos

- ( - 9 )   ±   ( - 9 ) 2   - 4 ⋅ 2 ⋅ 4 2 ⋅ 2 = 9 ± 7 4 ⇒ x = 4 ,   x = 1 / 2  

Deste modo, vemos que podemos reescrever 2 x 2   - 9 x   + 4 = ( x - 4 ) ( x - 1 / 2 ) . Ou seja,

( x - 4 ) ( x - 1 2 ) < 0

Passo 2

Agora, precisamos analisar o sinal de ( x - 4 ) ( x - 1 / 2 ) para saber se a condição ( x - 4 ) ( x - 1 2 ) < 0 será satisfeita. Para tanto, vamos ver o sinal de ( x - 4 ) e ( x - 1 / 2 ) nos intervalos

x   <   1 / 2 ,   1 / 2   <   x <   4 , x   >   4 .

Se o resultado da multiplicação ( x - 4 ) ( x - 1 / 2 ) for maior ou igual a 0 num determinado intervalo, então a inequação não é válida nesse intervalo.

Ou seja, o único intervalo no qual a inequação é válida é   1 / 2   <   x <   4 . O mesmo resultado pode ser observado no gráfico da inequação, que é dado abaixo:

O intervalo na reta real no qual a inequação é válida é dado abaixo:

onde a bola vazia representa o intervalo aberto e temos que - 1 4 =   - 0,25   e - 3 4   =   0,75 .

Resposta

1 2 <   x   <   4 e o conjunto solução é o intervalo ( 1 2   ,   4 )