Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

g(x) = -(x - 1)^2

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada da função para depois calcular os pontos em que ela se anula, ou seja, os números críticos:

g ' ( x ) = d d x [ - ( x - 1 ) 2 ] = - 2   ( x - 1 )

g ' ( x ) = 0   ⇒ - 2 ( x - 1 ) = 0   ⇒ x = 1

Então, x = 1 é o único número crítico dessa função.

Passo 2

Como x = 1 é número crítico, então temos dois intervalos de teste: ( - ∞ , 1 ) e ( 1 , ∞ ) . Nesses intervalos, a função se comporta se seguinte forma:

  • ( - ∞ , 1 )
  • Nesse intervalo, temos x < 1 , ou seja,

    x < 1 ⇒ x - 1 < 0 ⇒ - 2 ( x - 1 ) > 0 ,

    onde invertemos a inequação no último passo porque multiplicamos por um número negativo. Assim, vemos que g ' ( x ) > 0 , isto é, a função g é crescente nesse intervalo.

  • ( 1 , ∞ )

Nesse caso, temos x > 1 . Seguindo de maneira similar ao caso anterior

x > 1 ⇒ x - 1 > 0 ⇒ - 2 ( x - 1 ) < 0 ,

encontramos que g ' ( x ) < 0 , o que indica que a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 3

O gráfico da função está dado abaixo e condiz com o que obtivemos:

Resposta

g ( x ) é crescente em ( - ∞ , 1 ) e decrescente em ( 1 , ∞ ) , com número crítico x = 1 .