Enunciado
Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 16.6 - Ex. 4
Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
Passo 1
Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso u em relação a x e em relação a y. Lembrando que faremos derivadas PARCIAIS, ok?
E fazer para os valores de x e y em relação a r:
E agora para os valores de x e y em relação a t:
Passo 2
Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao r:
Aqui nós já não temos como mexer na equação, então como temos todas as variáveis juntas e sabemos quais os valores de x e y, iremos substituir na resposta:
Juntando os senos e os cossenos nesse resultado, teremos:
Segundo a relação fundamental da trigonometria, , portanto:
E para fazer em relação ao t é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:
Aqui nós já não temos como mexer na equação, então como temos todas as variáveis juntas e sabemos quais os valores de x e y, iremos substituir na resposta:
Dessa forma, teremos:
Passo 3
Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de u antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:
Passo 4
Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a r:
E em relação a t:
Resposta
;
(b) ;