Enunciado

Nos exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.

∫ 0 π 2 ∫ z π 2 ∫ 0 x z c o s c o s   y z   d y d x d z

Passo 1

Fala aí, pessoal! Beleza? Hoje vamos começar resolvendo integrais iteradas. Essa é a carinha da nossa integral:

∫ 0 π 2 ∫ z π 2 ∫ 0 x z c o s c o s   y z   d y d x d z

∫ 0 π 2 ∫ z π 2 z   s e n x z z 0 x z d x d z

Passo 2

Agora a gente pode tirar a constante e simplificar o z dentro do seno:

∫ 0 π 2 z ∫ z π 2 s e n ( x ) d x d z

∫ 0 π 2 z ( - c o s c o s   x )   z π 2 d z

∫ 0 π 2 z - c o s c o s   π 2   - c o s c o s   ( z   ) d z

Onde o cosseno de π 2 vale zero.

Passo 3

Agora podemos aplicar a integração por partes pra facilitar nosso cálculo, adotando u = z e v ' = c o s c o s   ( z )   .

∫ 0 π 2 z c o s c o s   z   d z

z   s e n   z - ∫ s e n   z d z 0 π 2

z   s e n   z - ( - c o s c o s   z   0 π 2

π 2   s e n π 2 + c o s c o s   π 2 - 0   s e n   0 + c o s c o s   0   = π 2 - 1  

Resposta

π 2 - 1