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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 32

Nos Exercícios 31-34, encontre a circulação e o fluxo do campo F em torno e através do caminho semicircular fechado que consiste no arco semicircular r 1 ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i + ( a sen t ) j , 0 ≤ t ≤ π , seguido pelo segmento de reta r 2 ( t ) = t i , - a ≤ t ≤ a .

F = x 2 i + y 2 j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para encontrar a circulação e o fluxo do vetor F → = x 2 i → + y 2 j → através de uma semi circunferência fechada, dada por r → = ( a c o s ⁡ t ) i + ( asent ) j , com 0 ≤ t ≤ π , e pelo seguimento de reta r → = t i → , com - a ≤ t ≤ a .Tenha o livro texto em mãos, pois vamos usar a teoria das páginas de 375 a 378 .

Passo 2

Sendo F ‾ = x 2 i ‾ + y 2 j ‾ e escrevendo em termos do parâmetro t , temos:

F ‾ = a 2 c o s 2 ⁡ t i ‾ + s e n 2 ⁡ j →

Para o semi círculo, sendo r ‾ = ( a c o s ⁡ t ) i + ( asent ) j e com 0 ≤ t ≤ π , a derivada em relação a t.é:

d r ‾ d t = ( - a s e n ⁡ t ) i ‾ + ( a c o s ⁡ t ) j ‾

Então:

 Circulação  = ∫ C     F → ⋅ d r ‾ d t d t = ∫ 0 π     a 2 c o s 2 ⁡ t i ‾ + s e n 2 ⁡ j ‾ ⋅ ( ( -  asent  ) i ‾ + ( a c o s ⁡ t ) ) d t   = ∫ 0 π     - a 3 s e n ⁡ t c o s 2 ⁡ t + a 3 c o s ⁡ t s e n 2 ⁡ t d t = - 2 a 3 3

Passo 3

Para o cálculo do fluxo, podemos utilizar a expressão que segue:

  Fluxo  = ∮     C M d y - N d x , onde  M = x , N = 3 y

Se utilizarmos a parametrização em t , teremos:

M = ( a c o s ⁡ t ) 2 , d y = d (  asen  t ) = a c o s ⁡ t d t N = ( a s e n ⁡ t ) 2 , d x = d ( a c o s ⁡ t ) = - a s e n ⁡ t d t

Passo 4

Voltando a expressão do Fluxo, teremos que:

F l u x o = ∮     C M d y - N d x = ∫ 0 π   ( a c o s ⁡ t ) 3 + ( a s e n ⁡ t ) 3 d t d t = 4 3 a 3

Para o seguimento de reta, sendo r → = t i → , com - a ≤ t ≤ a , calculemos sua derivada em relação à t .

Resposta

Resposta nos passos.