Existe um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?

Passo 1

Oieee pessoal! Tudo beleza?

Para fazer essa questão precisamos lembrar como se calcula a área e o perímetro do triângulo

Para a área temos: A = a ∙ b 2 e o perímetro é dado pela soma dos lados do triângulo.

Vamos chamar os catetos do nosso triângulo de a e b e a hipotenusa de c .

Podemos colocar o lado c em função dos lados a e b visto que na nossa área utilizamos apenas esses dois lados. Para tal, vamos aplicar o teorema de Pitágoras.

Assim, o perímetro p é dado por: a + b + c = 12 → a + b + a 2 + b 2 = 12

Agora, isolando o termo com radical na equação acima, temos:

a 2 + b 2 = 12 - ( a + b )

a 2 + b 2 2 =   12 - ( a + b ) 2

a 2 + b 2 =   12 2 - 2 ∙ 12 ∙ a + b + ( a + b ) 2

Então, os termos quadráticos de a e b na parte esquerda da equação se cancelam com os termos quadráticos provenientes do produto notável na parte direita, assim do produto notável resta apenas o termo do meio.

144 - 24 a + b - 2 a b = 0

Passo 2

Ok ok, nossa equação continua com duas incógnitas, para poder resolvê-la precisamos deixá-la dependente de apenas 1 incógnita, ou a ou b .

Para isso, vamos utilizar a relação entre a e b estabelecida pela fórmula da área, assim:

7 = a ∙ b 2   → b =   14 a

Substituindo na nossa equação, ficamos com uma equação de 2º grau que iremos resolver por Bhaskara.

144 - 24 a + 14 a - 2 a 14 a = 0

144 - 24 a - 336 a - 28 = 0

Multiplicando por a e dividindo por - 4 , temos:

6 a 2 - 43 a + 84 = 0

Ao calcular o delta obtemos: ∆   =   b 2 - 4 a c   → ∆   =   - 43 2 - 4 ∙ 6 ∙ 84 =   - 167

Esse valor negativo indica a impossibilidade de resolver essa expressão para os números reais. Portanto, não existe um triângulo retângulo com essas características.

Resposta

Não existe