Existe um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?
Passo 1
Oieee pessoal! Tudo beleza?
Para fazer essa questão precisamos lembrar como se calcula a área e o perímetro do triângulo
Para a área temos: e o perímetro é dado pela soma dos lados do triângulo.
Vamos chamar os catetos do nosso triângulo de e e a hipotenusa de .
Podemos colocar o lado em função dos lados e visto que na nossa área utilizamos apenas esses dois lados. Para tal, vamos aplicar o teorema de Pitágoras.
Assim, o perímetro é dado por:
Agora, isolando o termo com radical na equação acima, temos:
Então, os termos quadráticos de e na parte esquerda da equação se cancelam com os termos quadráticos provenientes do produto notável na parte direita, assim do produto notável resta apenas o termo do meio.
Passo 2
Ok ok, nossa equação continua com duas incógnitas, para poder resolvê-la precisamos deixá-la dependente de apenas 1 incógnita, ou ou .
Para isso, vamos utilizar a relação entre e estabelecida pela fórmula da área, assim:
Substituindo na nossa equação, ficamos com uma equação de 2º grau que iremos resolver por Bhaskara.
Multiplicando por e dividindo por , temos:
Ao calcular o delta obtemos:
Esse valor negativo indica a impossibilidade de resolver essa expressão para os números reais. Portanto, não existe um triângulo retângulo com essas características.
Resposta
Não existe