Dos funciones son iguales hasta el orden n em a si:

1. Probar que f es diferenciable em a si y sólo si existe uma funcion g de la forma tal que f y g son iguales hasta el primer orden em a.
2. Si existen, probar que f y la funcion g definida por

Son iguales hasta el orden n. Indicacion: El limite

Puede calcularse por la regra de l’Hôpital.

Obrigado por vir, carinha.

Por outro lado, se existe uma função tal que:

Então , logo a diferenciabilidade de f em a é

Provando assim que só existe diferenciabilidade em f se existe a função g dita.

Agora a b já não é trivial assim. Bora lá?

O Teorema 5.15 deste livro, supõe que f é ma função real no intervalo [a,b], onde n é um integrado positivo em contínuo em [a,b], existe para todo . Façamos com que sejam pontos distintos de [a,b], e definimos:

Então existe um ponto x entre e tal que:

Pelo mesmo teorema, podemos rescrever f como:

Onde y está entre x e a. Portanto:

E: