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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.4 - Ex. 28

Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.

Passo 1

Iai, galera? Vamos juntos massacrar mais uma questãozinha!

Nessa questão, iremos desenvolver matematicamente cada expressão dessas e ver se a igualdade continua valendo!

  1. Aqui, temos que

    2. u   ·   v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

    Que por sua vez, é igual a

    u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3

    e também temos que

    v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 =   v   ·   u

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  2. Temos que

    3. u * v = i           j           k u 1       u 2       u 3 v 1       v 2       v 3

    e também temos que

    i           j           k u 1       u 2       u 3 v 1       v 2       v 3 = - i           j           k v 1       v 2       v 3 u 1       u 2       u 3

    e por sua vez, temos que

    - i           j           k v 1       v 2       v 3 u 1       u 2       u 3 = - ( v * u )

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  3. Temos que

    4. ( - u ) * v = - i               j               k u 1     - u 2     - u 3 v 1           v 2           v 3

    e também temos que

    - i               j               k u 1     - u 2     - u 3 v 1           v 2           v 3 = - i           j           k u 1       u 2       u 3 v 1       v 2       v 3

    e por sua vez, temos que

    - i           j           k u 1       u 2       u 3 v 1       v 2       v 3 = - ( u * v )

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

    Passo 2

  4. Temos que

    5. c u ∙ v = c u 1 v 1 + c u 2 v 2 + c u 3 v 3

    por sua vez temos que

    c u 1 v 1 + c u 2 v 2 + c u 3 v 3   = u 1 c v 1 + u 2 c v 2 + u 3 c v 3

    temos também que

    u 1 c v 1 + u 2 c v 2 + u 3 c v 3 = u ∙ ( c v )

    seguindo temos que

    u ∙ c v = c u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

    que equivale a

    c u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = c u ∙ v

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  5. Temos que

    6. c u * v = c i           j           k u 1       u 2       u 3 v 1       v 2       v 3

    por sua vez temos que

    c i           j           k u 1       u 2       u 3 v 1       v 2       v 3 = i           j           k c u 1       c u 2       c u 3 v 1       v 2       v 3

    também temos que

    i           j           k c u 1       c u 2       c u 3 v 1       v 2       v 3 = c u * v

    Por sua vez

    c u * v = i           j           k u 1       u 2       u 3 c v 1       c v 2       c v 3

    Que é

    i           j           k u 1       u 2       u 3 c v 1       c v 2       c v 3 = u * ( c v )

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  6. Temos que

    7. u ∙ u = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

    por sua vez temos que

    u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 2

    temos também que

    u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 2 = u 2

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

    Passo 3

  7. Temos que

    8. u * u ∙ u = 0 ∙ u

    e por sua vez, u ∙ 0 = 0 , portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  8. Temos que

u * v _ | _   u

por sua vez temos que

u * v _ | _   v

temos também que

u * v ∙ u = v ∙ ( u * v )

Além disso, cada um dos lados dessa equação é igual a 0, portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão! 😊

Resposta

  1. Sempre verdadeira
  2. Sempre verdadeira
  3. Sempre verdadeira
  4. Sempre verdadeira
  5. Sempre verdadeira
  6. Sempre verdadeira
  7. Sempre verdadeira
  8. Sempre verdadeira