O lado de um quadrado mede L. Determinar o quadrado de área máxima que pode ser circunscrito no quadrado dado.

Passo 1

Primeiramente, desenharemos a situação apresentada e determinaremos os vínculos matemáticos encontradas através da geometria do problema, assim:

A área do quadrado circunscrito (amarelo), será:

A = a 2

Sendo ‘‘a’’ a aresta do quadrado.

Passo 2

Como esse quadrado está circunscrito em um quadrado menor de lado L, podemos obter uma relação entre a sua aresta e o lado do quadrado interior. Como os ângulos internos em um quadrado são iguais a 90°, nós temos 4 triângulos retângulos de lados ‘‘x’’, ‘‘a - x’’ e ‘‘L’’, assim, por Pitágoras:

L 2 = x 2 + a - x 2 = x 2 + a 2 - 2 a x + x 2 →   L 2 = 2 x 2 - 2 a x + a 2

Assim, obtemos uma relação entre o lado do quadrado interior (L) e as medidas do quadrado exterior (a e x).

Passo 3

Feito isso, como queremos maximizar a área do quadrado circunscrito, basta derivarmos a área do quadrado externo em função de a e igualar isso a zero. Assim encontraremos os pontos críticos da função. Logo:

A = a 2

Derivando,

A ' = 2 a = 0 → a = 0

Jogando isso na relação obtida pelo Pitágoras, temos:

  L 2 = 2 x 2 - 2 a x + a 2 → L 2 = 2 x 2

Como L e x são positivos,

L 2 = 2 x 2 → x = L 2 2

Passo 4

Substituindo x na aresta na relação encontrada pelo teorema de Pitágoras, temos:

L 2 = 2 x 2 - 2 a x + a 2 → L 2 = L 2 - 2 . a .   L 2 2 + a 2 → a 2 = a . L 2 →

Como ‘‘a’’ é positivo e diferente de zero,

a = L 2

Resposta

a = L 2