Enunciado

(c) ache o domínio de f ’

f (x) = sum_(n = 1)^(+ oo) (- 1)^(n - 1) * (x^(2 n - 1))/((2 n - 1) !)

Passo 1

Então é isso pessoal, vamos determinar primeiro a derivada da potência de séries aplicando o teorema 13.2.1;

Se tivermos uma série sum_(n = 0)^(+ oo) c_n x^n sendo uma série de potências com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série sum_(n = 1)^(+ oo) n c_n x^(n - 1) também terá R como raio de convergência.

Depois mais uma vez utilizaremos o teorema da razão onde o underset(n -> oo)(l i m) |(u_n + 1)/(u_n)| = L , para descobrirmos o domínio de f ’

Obs.: serão os mesmos procedimentos que já fizemos no item 5b, mas colocarei aqui para não perderem tempo voltando assunto.

Vamos com tudo pessoal!

Passo 2

Como já vimos, vamos determinar a derivada atribuída para a série

f^' (x) = sum_(n = 2)^(oo) (- 1)^(n - 1) * ((2 n - 1) * x^(2 n - 2))/((2 n - 1) !) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n - 1) * ((2 n - 1) * x^(2 n - 2))/((2 n - 1) * (2 n - 2) !)

f ' ( x ) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n - 1) * (x^(2 n - 2))/((2 n - 2) !)

Em seguida, vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos os possíveis extremos do nosso domínio, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u_n = (- 1)^(n - 1) * (x^(2 n - 2))/((2 n - 2) !)

u_n + 1 = (- 1)^n * (x^(2 n))/((2 n) !)

Substituindo os termos encontrados no limite.

underset(n -> oo)(l i m) |((- 1)^n * (x^(2 n))/((2 n) !))/((- 1)^(n - 1) * (x^(2 n - 2))/((2 n - 2) !))| = underset(n -> oo)(l i m) |(- 1)^(n - 1) * (- 1)^n * (x^(2 n))/((2 n) !) * ((2 n - 2) !)/(x^(2 n - 2))|

= underset(n -> oo)(l i m) |((2 n - 2) !)/((2 n) !) * (1)/(x^(- 2))| = underset(n -> oo)(l i m) |((2 n - 2) !)/((2 n) (2 n - 1) (2 n - 2) !)| * |x^2|

underset(n -> oo)(l i m) |(1)/((2 n) (2 n - 1))| * |x^2| = 0

Olha só pessoal!!!

Como o limite torna-se 0 (zero), então para a potência de série converge para todos os valores de x , pois 0 < 1 , logo poderemos afirmar que o raio de convergência é + oo .

Portanto galera não para onde escapar o D o m ( f ’ ) = (- oo , + oo)

Então é isso pessoal!!Espero que tenham compreendido e nos vemos na próxima.

Resposta

(- oo , + oo)