Enunciado

(c) ache o domínio de f ’

f (x) = sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n))/((n !)^2)

Passo 1

Então é isso pessoal, vamos terminar a 6ª questão com grande estilo.

Primeiro devemos determinar primeiro a derivada da potência de séries aplicando o teorema 13.2.1;

Se tivermos uma série sum_(n = 0)^(+ oo) c_n x^n sendo uma série de potências com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série sum_(n = 1)^(+ oo) n c_n x^(n - 1) também terá R como raio de convergência.

Depois mais uma vez utilizaremos o teorema da razão onde o underset(n -> oo)(l i m) |(u_n + 1)/(u_n)| = L , para descobrirmos o domínio de f ’

Obs.: percebam pessoal que alguns procedimentos aqui já fizemos no item 5b, mas colocarei aqui para não perderem tempo voltando ao assunto.

Vamos com tudo pessoal!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo

f^' (x) = sum_(n = 2)^(oo) (2 n * x^(2 n - 1))/((n !)^2)

Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u_n = (2 n * x^(2 n - 1))/((n !)^2)

u_n + 1 = (2 ( n + 1 ) * x^(2 n + 1))/([ (n + 1) ! ]^2)

Substituindo os termos encontrados no limite.

underset(n -> oo)(l i m) |((2 ( n + 1 ) * x^(2 n + 1))/([ (n + 1) ! ]^2))/((2 n * x^(2 n - 1))/((n !)^2))| = underset(n -> oo)(l i m) |(2 ( n + 1 ) * x^(2 n + 1))/([ (n + 1) ! ]^2) * ((n !)^2)/(2 n * x^(2 n - 1))|

= underset(n -> oo)(l i m) |((n !)^2)/([ (n + 1) ! ]^2) * (n + 1)/(n) * (x^(2 n + 1))/(x^(2 n - 1))| = underset(n -> oo)(l i m) |[(n !)/((n + 1) !)]^2 * (n + 1)/(n) * (x^(+ 1))/(x^(- 1))|

underset(n -> oo)(l i m) |[(n !)/((n + 1) * n !)]^2 * (n + 1)/(n) * x ²| = underset(n -> oo)(l i m) |(1)/((n + 1) * n)| |x^2| = 0

Olha só pessoal!!!

Como o limite torna-se 0 (zero), então para a potência de série converge para todos os valores de x , pois 0 < 1 , logo poderemos afirmar que o raio de convergência é + oo .

Portanto galera não para onde escapar o D o m ( f ’ ) = (- oo , + oo)

Então é isso pessoal!!Espero que tenham compreendido e nos vemos na próxima.

Resposta

(- oo , + oo)