Mostre que, para
Sugestão:
Passo 1
Vamos continuando por aqui!!
Eu sei que demonstração é puxado, mas fiquem atentos que vocês vão conseguir!!
Vamos ter que ter algo em mente:
Sendo assim:
Nós sabemos que:
Então, usando o Teorema 2 da nossa seção 8.3, no intervalo fechado contido no intervalo de convergência aberto , teremos que:
Esta equação só é válida para o intervalo aberto , ok?
Se já sabemos disso precisamos voltar lá nas nossas regrinhas de integração e lembrar que:
Sendo assim:
Nós conseguimos provar que esta afirmação é verdadeira quando , certo?
Como nós também precisamos saber se ela é verdadeira quando teremos que fazer mais algumas análises !!
Passo 2
Para o intervalo fechado vamos precisar do seguinte teorema: Se uma série de potência centrada em zero é convergente para ou para sendo R o que chamamos de raio de convergência de uma série, então a soma da série será continua no intervalo fechado.
Analisando as séries:
Como a função é contínua no intervalo fechado , então:
De boa, né?