Mostre que, para |x| <= 1 ,

a r c t g x = sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Sugestão: sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n x^(2 n) = (1)/(1 - x ²) .

Passo 1

Vamos continuando por aqui!!

Eu sei que demonstração é puxado, mas fiquem atentos que vocês vão conseguir!!

Vamos ter que ter algo em mente:

int x^(2 n) . d x = (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Sendo assim:

int sum_(n = 0)^(+ oo) x^(2 n) . d x = sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Nós sabemos que:

int_0^t sum_(n = 0)^(+ oo) x^(2 n) . d x = int_0^t (1)/(1 - x ²) . d x

Então, usando o Teorema 2 da nossa seção 8.3, no intervalo fechado [ a , b ] contido no intervalo de convergência aberto ] - R , R [ , teremos que:

int_0^t (1)/(1 - x ²) . d x = int_0^t sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k x^(2 k) . d x = sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^k (x^(2 k + 1))/(2 k + 1)

Esta equação só é válida para o intervalo aberto - 1 < x < 1 , ok?

Se já sabemos disso precisamos voltar lá nas nossas regrinhas de integração e lembrar que:

int_0^t (1)/(1 - x ²) . d x = a r c t g x

Sendo assim:

a r c t g x = sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Nós conseguimos provar que esta afirmação é verdadeira quando |x| < 1 , certo?

Como nós também precisamos saber se ela é verdadeira quando |x| <= 1 teremos que fazer mais algumas análises !!

Passo 2

Para o intervalo fechado - 1 <= x <= 1 vamos precisar do seguinte teorema: Se uma série de potência centrada em zero é convergente para x = R ou para x = - R , sendo R o que chamamos de raio de convergência de uma série, então a soma s ( x ) da série será continua no intervalo fechado.

Analisando as séries:

sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (1^(2 n + 1))/(2 n + 1) = sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (1)/(2 n + 1) = c o n v e r g e

sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (( - 1 )^(2 n + 1))/(2 n + 1) = sum_(n = 0)^(+ oo) (( - 1 )^(3 n + 1))/(2 n + 1) = c o n v e r g e

Como a função é contínua no intervalo fechado [ - 1 , 1 ] , então:

a r c t g x = sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1) , p a r a |x| <= 1

De boa, né?

Resposta

a r c t g x = sum_(n = 0)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

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