Porque o produto de dois números é positivo apenas se os números são ambos positivos ou ambos negativos?

Passo 1

Hummmmm... como podemos provar isso?

Bem, para facilitar vamos separar nossa análise em 3 casos diferentes:

- Caso 1 :

x < 0 e y > 0 ( x negativo e y positivo);

- Caso 2 :

x < 0 e y < 0 ( x e y ambos negativos);

- Caso 3 :

x > 0 e y > 0 ( x e y ambos positivos).

Bora colocar as mãos na massa!

Passo 2

Caso 1 : x < 0   e y > 0 ( x é negativo e y é positivo).

Vamos multiplicar y em x :

y * x < 0 * y

x y < 0

Agora vamos multiplicar x em y :

x * y > 0 * x

Como x é um número negativo, inverte-se o sinal de inequação:

x y < 0

Ou seja, para qualquer valor de x negativo e y positivo, sua multiplicação sempre resultará em um número menor que zero, ou seja, negativo.

O mesmo é valido caso x > 0 e y < 0 . ;)

Passo 3

Caso 2 : x < 0   e y < 0 ( x e y ambos negativos).

Vamos multiplicar y em x :

y * x < 0 * y

Como y é um número negativo, inverte-se o sinal de inequação:

x y > 0

Agora vamos multiplicar x em y :

x * y < 0 * x

Como x também é um número negativo, inverte-se o sinal de inequação:

x y > 0

Ou seja, para qualquer valor de x negativo e y negativo, sua multiplicação sempre resultará em um número maior que zero, ou seja, positivo.

Passo 4

Caso 3 : x > 0   e y > 0 ( x e y ambos positivos).

Vamos multiplicar y em x :

y * x > 0 * y

Temos:

x y > 0

Agora vamos multiplicar x em y :

x * y > 0 * x

Temos:

x y > 0

Ou seja, para qualquer valor de x positivo e y positivo, sua multiplicação sempre resultará em um número maior que zero, ou seja, positivo.

Resposta

Resolução nos passos acima.