Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 43
Na prática, a função aplicada é frequentemente descontínua. Resolva o problema de valor inicial:
Em que:
(Sugestão: Resolva o problema nos dois intervalos e então encontre uma solução de tal forma que e sejam contínuas em .)
Passo 1
Nossa equação é essa aqui:
Para encontrarmos vamos fazer: , ok? Logo:
Então encontramos que:
Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:
Top!
Passo 2
Para o primeiro intervalo, teremos:
Uma possível solução particular é:
Encontrando as constantes:
Substituindo na nossa equação:
Como isso é uma identidade então tiramos que:
Então será:
E a solução geral será:
Ok, primeira parte feita!
Passo 3
Para o segundo intervalo, teremos:
Sendo assim, podemos admitir que não há solução particular neste caso! Ou seja, a solução geral para esse intervalo será a própria solução complementar, que é:
Agora que encontramos as duas soluções vamos sintetiza-las aqui:
Agora só falta encontrarmos os valores das constantes, certo? É por isso que o enunciado nos deu as condições iniciais, que são:
Então vamos aplicar essas condições para as duas soluções, beleza? Show!
Passo 4
Para a primeira solução, teremos:
Primeira condição:
Segunda condição:
Então para o primeiro intervalo a solução é:
Passo 5
Para a segunda solução, teremos:
Agora a segunda condição:
Então para o segundo intervalo a solução é:
Dessa forma, podemos concluir que nossa resposta final é: