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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 21

Nos problemas 1-44, encontre F s ou f t como indicado.

21. L - 1 2 s - 1 s 2 s + 1 3

Passo 1

Então pessoal, nas seções anteriores do capítulo 7 tínhamos que calcular L f t com base em algumas transformações que chamamos de “básicas”. As transformações são essas aqui ó:

a )   L 1 = 1 s

b )   L t n = n ! s n + 1

c )   L e a t = 1 s - a

d ) L s e n   k t = k s 2 + k 2

e )   L cos ⁡ k t = s s 2 + k 2

f )   L s e n h   k t = k s 2 - k 2

g )   L cosh ⁡ k t = s s 2 - k 2

Em outras palavras, tínhamos o seguinte: o enunciado nos dava a função f t e encontrávamos um resultado em função de s com base nessas transformações aí de cima, certo? Show! Agora o que temos é uma situação OPOSTA, ou seja, a questão nos dá o RESULTADO (em função de s ) e pede para que encontremos f t !

Então o que precisamos fazer é manipular o nosso resultado para escreve-lo no formato de alguma transformação aí de cima (de a ) até g ) ). Fez sentido a ideia? Se não fez, então vem comigo e bora descomplicar isso aí!

Passo 2

O enunciado nos deu a seguinte transformação inversa, pessoal:

L - 1 2 s - 1 s 2 s + 1 3

Para não precisarmos ficar escrevendo essa transformação toda hora, vamos só trabalhar com o que está dentro, ok? Vamos chamar o que está dentro de y , ou seja:

y = 2 s - 1 s 2 s + 1 3

Para simplificarmos isso temos que lembrar láááá de frações parciais, galera!

Para a divisão que temos podemos fazer:

2 s - 1 s 2 s + 1 3 = A s + B s 2 + C s + 1 + D s + 1 2 + E s + 1 3

2 s - 1 s 2 s + 1 3 = A s s + 1 3 + B s + 1 3 + C s 2 s + 1 2 + D s 2 s + 1 + E s 2 s 2 s + 1 3

Logo:

2 s - 1 = s s + 1 3 + B s + 1 3 + C s 2 s + 1 2 + D s 2 s + 1 + E s 2

Shooow!

Passo 3

Galera, aqui temos que utilizar um bizu! Se formos abrir todos esses termos cúbicos e quadráticos vai dar algo muuuuito trabalhoso, então vamos utilizar o auxílio de uma calculadora para encontrar os valores das constantes, ok? Beleza!

Colocando isso numa calculadora encontramos que:

A = 5

B = - 1

C = - 5

D = - 4

E = - 3

Sendo assim, temos que:

y = 2 s - 1 s 2 s + 1 3 = 5 s - 1 s 2 - 5 s + 1 - 4 s + 1 2 - 3 2 . 2 s + 1 3

Então nossa transformação vira:

L - 1 2 s - 1 s 2 s + 1 3 = L - 1 5 s - 1 s 2 - 5 s + 1 - 4 s + 1 2 - 3 2 . 2 s + 1 3

Top!

Passo 4

Se reescrevermos nossa transformação de outra maneira, teremos:

L - 1 5 . 1 s - L - 1 1 s 2 - L - 1 5 . 1 s + 1 - L - 1 4 . 1 s + 1 2 - L - 1 3 2 . 2 s + 1 3

A primeira transformação é a letra a), ou seja:

a )   L 1 = 1 s

A segunda transformação é a letra b), ou seja:

b )   L t n = n ! s n + 1

A terceira transformação é a letra c), ou seja:

c )   L e a t = 1 s - a

A quarta e quinta transformação é uma particular, que foi discutida no exemplo 6 da seção 7.1 e tem como resultado:

  L t e a t = 1 s - a 2

Sendo assim, podemos concluir que nosso resultado será:

L - 1 2 s - 1 s 2 s + 1 3 = 5 - t - 5 e t - 4 t e t - 3 2 t 2 e - t

E é isso, galera! 😉

Resposta

L - 1 2 s - 1 s 2 s + 1 3 = 5 - t - 5 e t - 4 t e t - 3 2 t 2 e - t

Ver Outros Exercícios desse livro