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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 30

Nos problemas 1-44, encontre F s ou f t como indicado.

30. L t e t - 5 u t - 5

Passo 1

Então pessoal, nesse tipo de questão que aparece esse tal de “ u ” precisamos tomar um certo cuidado, ok? O nome disso é Função Degrau Unitário e ela é definida da seguinte forma:

u t - a = 0 ,   0 ≤ t < a 1 ,   t ≥ a

E para resolvermos os problemas que possuem essa função associada devemos usar o resultado desse Teorema aqui ó:

L { t - a u t - a = e - a s L f t

E aí para calcularmos L f t é tranquilo, né? Pois basta lembrarmos das transformações básicas:

a )   L 1 = 1 s

b )   L t n = n ! s n + 1

c )   L e a t = 1 s - a

d ) L s e n   k t = k s 2 + k 2

e )   L cos ⁡ k t = s s 2 + k 2

f )   L s e n h   k t = k s 2 - k 2

g )   L cosh ⁡ k t = s s 2 - k 2

Então mãos à obra!

Passo 2

O enunciado nos deu a seguinte transformação, pessoal:

L t e t - 5 u t - 5

Reescrevendo, teremos:

L t - 5 + 5 e t - 5 u t - 5 = L t - 5 e t - 5 u t - 5 + 5 e t - 5 u t - 5

Agora sim! Como temos que a = 5 , então se aplicarmos o teorema citado no passo 1, teremos:

L { t - a u t - a = e - a s L f t

L t - 5 e t - 5 u t - 5 + 5 e t - 5 u t - 5 = e - 5 s L t e t + 5 e - 5 s L e t

Topzera!

Passo 3

A primeira transformação é uma transformação bem particular discutida na seção 7.1, pessoal! É essa aqui ó:

L t e a t = 1 s - a 2

E a segunda transformação é justamente a letra c), saca só:

c )   L e a t = 1 s - a

Logo:

L t e a t = 1 s - a 2   e   L e t = 1 s - a

Sendo assim, temos que nosso resultado será:

L t e t - 5 u t - 5 = e - 5 s . 1 s - 1 2 + 5 e - 5 s . 1 s - 1

E está aí, galera! 😉

Resposta

L t e t - 5 u t - 5 = e - 5 s . 1 s - 1 2 + 5 e - 5 s . 1 s - 1

Ver Outros Exercícios desse livro