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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 32

Nos problemas 1-44, encontre F s ou f t como indicado.

32. L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2

Passo 1

Então pessoal, nesse tipo de questão que aparece esse tal de “ u ” precisamos tomar um certo cuidado, ok? O nome disso é Função Degrau Unitário e ela é definida da seguinte forma:

u t - a = 0 ,   0 ≤ t < a 1 ,   t ≥ a

E para resolvermos os problemas que possuem essa função associada devemos usar o resultado desse Teorema aqui ó:

L - 1 e - a s F s = f t - a u t - a

Então temos que escrever nossa transformação inversa nesse formatinho padrão para utilizarmos esse resultado, tudo bem? Show! Ademais, temos que nos lembrar das transformações básicas, que são essas aqui:

a )   L 1 = 1 s

b )   L t n = n ! s n + 1

c )   L e a t = 1 s - a

d ) L s e n   k t = k s 2 + k 2

e )   L cos ⁡ k t = s s 2 + k 2

f )   L s e n h   k t = k s 2 - k 2

g )   L cosh ⁡ k t = s s 2 - k 2

Então mãos à obra!

Passo 2

O enunciado nos deu a seguinte transformação inversa, pessoal:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2

Reescrevendo isso aí, teremos:

L - 1 1 s + 2 + 2 e - 2 s s + 2 + e - 4 s s + 2

Note que a transformação associada que temos é a da letra c):

c )   L e a t = 1 s - a

Logo:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u t - 4

E está aí nosso resultado, galera! 😉

Resposta

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u t - 4

Ver Outros Exercícios desse livro