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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 36

Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

36. d 2 x d t 2 + ω 2 x = F 0 cos ⁡ γ t ,   x 0 = 0 ,   x ' 0 = 0

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos os exercícios dessa seção 4.4 devemos seguir uma espécie de passo a passo, beleza? A equação que nos é dada tem o seguinte formato:

a x ' ' + b x ' + c x = g t

A solução geral desse tipo de equação diferencial, que é a de coeficientes indeterminados, tem essa cara aqui ó:

x = x c + c p

Mas o que são esses sub-indíces aí? Então, x p é uma solução particular e x c é uma solução complementar. Para encontrarmos x c basta reduzirmos a equação diferencial a uma equação quadrática para encontrar as raízes. Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.

Agora para x p não existe uma solução pronta ou algo do tipo, pois como se trata de uma solução particular, então teremos que analisar cada função de g t que o problema der, já que serão sempre distintas para cada questão.

Mas agora chega de conversa, né? Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona esse trem todo aí!

Passo 2

Nossa equação é essa aqui:

d 2 x d t 2 + ω 2 x = F 0 cos ⁡ γ t

Para encontrarmos x c vamos fazer: x ' ' = m 2 ,   x ' = m   e   x = 1 , ok? Logo:

m 2 + ω 2 = 0

E então encotramos que:

m 1 = a + b i = 0 + ω i

m 2 = a - b i = 0 - ω i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

x c = e a x . c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

x c = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n   ω t

Show!

Passo 3

Da nossa equação diferencial tiramos que:

g t = F 0 cos ⁡ γ t

Sendo assim, de acordo com o que vimos na seção em questão, uma solução particular possível e interessante pra gente seria:

x p = A . cos ⁡ γ t + B . s e n   γ t

E então devemos determinar coeficientes específicos A e B para que y p seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:

x p ' = - A γ . s e n   γ t + B γ . cos ⁡ γ t

x p ' ' = - A γ 2 . cos ⁡ γ t - B γ 2 . s e n   γ t

Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

d 2 x d t 2 + ω 2 x = F 0 cos ⁡ γ t

- A γ 2 . cos ⁡ γ t - B γ 2 . s e n   γ t + ω 2 A . cos ⁡ γ t + B . s e n   γ t = F 0 cos ⁡ γ t

Como temos uma identidade podemos tirar o seguinte:

A = F 0 ω 2 - γ 2 B = 0

Logo, temos que x p será:

x p = F 0 ω 2 - γ 2 cos ⁡ γ t

Dessa forma, temos que nossa solução geral será:

x = x c + x p

x = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n   ω t + F 0 ω 2 - γ 2 cos ⁡ γ t

Show!

Passo 4

Agora que determinamos a solução geral precisamos aplicar as condições de contorno que o enunciado deu para encontrarmos as constantes, galera! As condições são:

x 0 = 0 ,   x ' 0 = 0

Aplicando a primeira condição:

0 = c 1 + F 0 ω 2 - γ 2

c 1 = - F 0 ω 2 - γ 2

Agora aplicando a segunda condição:

x ' = - ω c 1 . s e n   ω t + ω c 2 . cos ⁡ ω t - F 0 ω 2 - γ 2 γ . s e n   γ t

0 = ω c 2

c 2 = 0

Portanto nossa solução geral para tais condições será:

x = - F 0 ω 2 - γ 2 cos ⁡ ω t + F 0 ω 2 - γ 2 cos ⁡ γ t

E está aí!

Resposta

x = - F 0 ω 2 - γ 2 cos ⁡ ω t + F 0 ω 2 - γ 2 cos ⁡ γ t

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