(Produto de Wallis) Mostre que, para todo natural , tem-se
Letra a)
Onde
Passo 1
Chamaremos a integral do lado esquerdo de e podemos escreve-la como
Que é uma integral por partes
Onde
Logo
Ou ainda
Passo 2
Vamos nos atentar a segunda integral que chamaremos de
Nesta o termo pode ser escrito como
Então
Fazendo a distributiva
Passo 3
Voltando a integral
Que é o mesmo que
Colocando todos os fatores que contem do mesmo lado e colocando o mesmo em evidencia
Desta forma será
Passo 4
O nosso problema possui os limites de integração então basta coloca-los
Que é
Desta forma final