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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 58

Prove que, se ∑ a n é uma série convergente de termos não negativos, então ∑ a n ² converge.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos diz que

∑ a n   c o n v e r g e

Logo, podemos dizer que

lim n → ∞ ⁡ a n = 0   ( T e s t e   d a   d i v e r g ê n c i a )

Show. Agora, olha que interessante. Se quando n → ∞ o nosso limite é igual a zero, podemos concluir então que:

0 < a n < 1

Se multiplicarmos todos os termos por a n ,

0 . a n < a n . ( a n ) < 1 . ( a n )

0 < a n ² < ( a n )

Para ficar mais claro de enxergar, vamos dizer que:

a n 2 = b n

Logo, vamos ter que:

∑ a n   c o n v e r g e b n < a n

Pelo teste da comparação, então podemos afirmar que:

∑ b n = ∑ a n 2   c o n v e r g e

Resposta

∑ a n 2   c o n v e r g e