Um recipiente tem forma de cone circular reto. A altura é 10 pés e o raio da base 4 pés. Lança-se água no recipiente na razão de 5 pés cúbicos por minuto. Com que velocidade se eleva o nível da água quando a profundidade da água é de 5 pés se:

a.O vértice do cone está para cima?

b.O vértice do cone está para baixo?

Passo 1

Bom, para começar essa questão vamos fazer um desenho para ajudar na resolução.

Por semelhança (olhando o triangulo com altura h e base r e o triangulo com altura 10 base 4) temos:

r h = 4 10 = 2 5

Passo 2

Agora usaremos a fórmula do volume de cone circular reto para calcular o volume de água:

V Á G U A =   V T O T A L -   V S E M   Á G U A

Pela fórmula do volume = 1 3   π r 2 h

V Á G U A = 1 3   π 4 2 10 -   1 3   π r 2 ( h )

V Á G U A = 1 3 π ( 160 - r 2 h )

Como nós temos que o volume aumenta de 5 pés cúbicos por minuto, sabemos a taxa de variação do mesmo, ou seja, a derivada.

d V Á G U A d t = 5

Agora basta derivar a equação: V Á G U A = 1 3 π ( 160 - r 2 h )

d V Á G U A d t = 1 3 π d 160 - r 2 h d t

d V Á G U A d t = - 1 3 π     2 r h ∙ d r d t + r 2 d h d t = 5

Veja que é pedido d h d t   q u a n d o   h = 5   p é s   , além disso r h = 2 5 .   l o g o   r = 2 ,   p a r a   h = 5 ,   a l é m   d i s s o :   r = 2 h 5   → d r d t = 2 5 d h d t  

Substituindo tudo:

5 = - 1 3 π 20 2 5 d h d t + 4 d h d t

5 =   - π 3   12 d h d t → - 5 4 π = d h d t  

Passo 3

Para o caso do vértice para baixo é bem similar, porém o que antes não tinha água, agora terá e o que tinha, não terá mais.

Veja agora que não precisamos nos preocupar em relacionar o volume do cone pequeno com o cone maior, pois já temos uma fórmula para o volume de água (é um cone de altura h e raio r).

Ainda vale a mesma relação de:

r h = 4 10 = 2 5

Vamos calcular o volume desse cone, sabendo que d V d t = 5

V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π h 4 25 h 2 = 4 75 ( π h 3 )

Derivando:

d V d t = 4 75 π   ( 3 h 2 ) ( d h d t )

Como queremos d h d t   no momento em que h = 5, vamos substituir:

d V d t = 5 = 4 75 π   3 ∙ 5 2 d h d t → d h d t =   5 4 π    

Resposta

Ambos itens tem mesma resposta: 5 4 π