Resolva

(d y)/(d x) = cos^2 y , (pi)/(2) < y < (pi)/(2)

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d y)/(d x) = cos^2 y -> (d y)/(cos^2 y) = d x

Integrando dos dois lados ficamos com

int (d y)/(cos^2 y) = int d x

Vamos roubar? Não é roubar quando temos o conhecimento hahaha

Mas repare que

(d)/(d y) (tan y) = (d)/(d y) ((s e n y)/(cos y))

Que resolvendo pela regra do produto

(d)/(d y) ((s e n y)/(cos y)) = (cos y cos y - (- s e n y) s e n y)/(cos^2 y) = (cos^2 y + s e n^2 y)/(cos^2 y) = (1)/(cos^2 y)

Ou seja

int (d y)/(cos^2 y) = int (d)/(d y) (tan y) d y = T e o F u n d C á l c u l o = tan y

Assim temos que

int (d y)/(cos^2 y) = int d x

tan y = x + c

Ou seja

y = arctan ( x + c )

Nossa solução. Vai tu gostou do nosso conhecimento sendo aplicado.

Resposta

y = arctan ( x + c )

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