Resolva pelo processo que achar mais conveniente

y^' = x^2 y + 2

Passo 1

E já estamos na letra d, e vamo que vamoo !!

Vamos reescrever esta equação:

(d y)/(d x) = x^2 y + 2

(x^2 y + 2) d x - d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = x^2 y + 2

Q (x , y) = - 1

Derivando P em y e Q em x:

P_y = x^2

Q_x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (x^2 - 0)/(- 1) . d x) = e^(int - x^2 . d x) = e^(- (x^3)/(3))

Multiplicando cada termo por e^(- (x^3)/(3)) :

e^(- (x^3)/(3)) (x^2 y + 2) d x - e^(- (x^3)/(3)) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = e^(- (x^3)/(3)) (x^2 y + 2)

(d phi)/(d y) = - e^(- (x^3)/(3))

Olhando a primeira condição:

d phi = e^(- (x^3)/(3)) (x^2 y + 2) d x

E integrando:

phi = - y e^(- (x^3)/(3)) + 2 int e^(- (x^3)/(3)) . d x

Olhando a segunda condição:

d phi = - e^(- (x^3)/(3)) . d y

E integrando:

phi = - y e^(- (x^3)/(3))

Ou melhor:

phi = - y e^(- (x^3)/(3)) + 2 int e^(- (x^3)/(3)) . d x

Portanto nós concluímos que a igualdade e^(- (x^3)/(3)) (x^2 y + 2) d x - e^(- (x^3)/(3)) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por - y e^(- (x^3)/(3)) + 2 int e^(- (x^3)/(3)) . d x = k , em que k é uma constante.

Gostaram, não foi?

Resposta

phi (x , y) = - y e^(- (x^3)/(3)) + 2 int e^(- (x^3)/(3)) . d x

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