1. Resolva

H)

{[[overset(˙)(x) = y],[overset(˙)(y) = x - 2 y],[overset(˙)(z) = w],[overset(˙)(w) = z - 2 w]])

Passo 1

Bem, queremos aqui resolver um sistema 4x4. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 3x3, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = [[[0,1,[[0,0]]],[1,-,2,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[0],[1]],[[1],[-,2]]]]]]]

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores lambda de uma matriz são do tipo:

det (A - lambda I) = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair lambda na diagonal principal da matriz A , veja:

det ([[0,-,lambda,1,[[0,0]]],[1,-,2,-,lambda,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[0,-,lambda],[1]],[[1],[-,2,-,lambda]]]]]]) = 0 ->

Usando a regra de Sarrus para determinar o determinante dessa matriz 4x4:

det ([[-,lambda,1,[[0,0]]],[1,-,2,-,lambda,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[-,lambda],[1]],[[1],[-,2,-,lambda]]]]]]) = - lambda * (- 1)^(1 + 1) det ([[-,2,-,lambda,0,0],[0,-,lambda,1],[0,1,-,2,-,lambda]]) + 1 * (- 1)^(1 + 2) det ([[1,0,0],[0,-,lambda,1],[0,1,-,2,-,lambda]])

- lambda * (- 1)^(1 + 1) det ([[-,2,-,lambda,0,0],[0,-,lambda,1],[0,1,-,2,-,lambda]]) + 1 * (- 1)^(1 + 2) det ([[1,0,0],[0,-,lambda,1],[0,1,-,2,-,lambda]]) = 0

- lambda * [- lambda (- 2 - lambda)^2 - (- 2 - lambda)] - 1 * [- lambda (- 2 - lambda) - 1] = 0 ->

Agora é só simplificar:

- lambda * [- lambda (4 + 4 lambda + lambda^2) + 2 + lambda] - 1 * [+ 2 lambda + lambda^2 - 1] = 0 ->

- lambda * [- 3 lambda - 4 lambda^2 - lambda^3 + 2] - 2 lambda - lambda^2 + 1 = 0 ->

3 lambda^2 + 4 lambda^3 + lambda^4 - 2 lambda - 2 lambda - lambda^2 + 1 = 0 ->

lambda^4 + 4 lambda^3 + 2 lambda^2 - 4 lambda + 1 = 0 ->

Usando o WolframAlpha para resolver o essa equação, vamos obter:

lambda_1 = lambda_2 = - 1 - sqrt(2)

Ou...

lambda_3 = lambda_4 = sqrt(2) - 1

O conjunto de soluções fundamentais x^((k)) para cada um deles vão ser:

  • Para o lambda_1 que é real e o primeiro a ser avaliado igual a ele...
  • x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

  • Para lambda_2 que é real e o segundo igual ao primeiro...
  • x^((2)) = v_1 t e^(lambda_2 t) + v_2 e^(lambda_2 t)

  • Para o lambda_3 que é real e único também:
  • x^((3)) = v_3 e^(lambda_3 t)

  • Para o lambda_4 que é real e o segundo igual ao terceiro:

x^((4)) = v_3 t e^(lambda_3 t) + v_4 e^(lambda_4 t)

Onde v_1 , v_2 e v_3 são os autovetores. Os três autovetores da matriz, como os lambda são todos diferentes, se obtém de forma normal que conhecemos:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

(A - lambda_2 I) v_2 = v_1

(A - lambda_3 I) v_3 = 0

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c],[d]])

Onde a , b , c e d são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_1 I) ([[[[a],[b],[c]]],[d]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda,1,[[0,0]]],[1,-,2,-,lambda,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[-,lambda],[1]],[[1],[-,2,-,lambda]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = 0

Como lambda_1 = - 1 - sqrt(2) ...

([[1,+,sqrt(2),1,[[0,0]]],[1,-,2,+,1,+,sqrt(2),[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[1,+,sqrt(2)],[1]],[[1],[-,2,+,1,+,sqrt(2)]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[(1 + sqrt(2)) a + b = 0],[a + (- 1 + sqrt(2)) b = 0],[(1 + sqrt(2)) c + d = 0],[c + (- 1 + sqrt(2)) d = 0]])

Da primeira equação...

b = - (1 + sqrt(2)) a

Da terceira:

d = - (1 + sqrt(2)) c

Se escolhermos a = 1 e c = 1 ...

v_1 = ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]])

Passo 4

AUTOVETOR 2:

(A - lambda_2 I) v_2 = ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]])

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c],[d]])

Onde a , b , c e d são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_2 I) ([[[[a],[b],[c]]],[d]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda,1,[[0,0]]],[1,-,2,-,lambda,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[-,lambda],[1]],[[1],[-,2,-,lambda]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]])

Como lambda_2 = - 1 - sqrt(2) ...

([[1,+,sqrt(2),1,[[0,0]]],[1,-,2,+,1,+,sqrt(2),[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[1,+,sqrt(2)],[1]],[[1],[-,2,+,1,+,sqrt(2)]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]])

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[(1 + sqrt(2)) a + b = 1],[a + (- 1 + sqrt(2)) b = - (1 + sqrt(2))],[(1 + sqrt(2)) c + d = 1],[c + (- 1 + sqrt(2)) d = - (1 + sqrt(2))]])

Da primeira equação...

b = - (1 + sqrt(2)) a + 1

Da terceira:

d = - (1 + sqrt(2)) c + 1

Se escolhermos a = 1 e c = 1 ...

v_2 = ([[1],[- sqrt(2)],[1],[- sqrt(2)]])

Passo 5

AUTOVETOR 3:

(A - lambda_3 I) v_3 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c],[d]])

Onde a , b , c e d são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_3 I) ([[[[a],[b],[c]]],[d]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda,1,[[0,0]]],[1,-,2,-,lambda,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[-,lambda],[1]],[[1],[-,2,-,lambda]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = 0

Como lambda_3 = sqrt(2) - 1 ...

([[1,-,sqrt(2),1,[[0,0]]],[1,-,2,+,1,-,sqrt(2),[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[1,-,sqrt(2)],[1]],[[1],[-,2,+,1,-,sqrt(2)]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[(1 - sqrt(2)) a + b = 0],[a + (- 1 - sqrt(2)) b = 0],[(1 - sqrt(2)) c + d = 0],[c + (- 1 - sqrt(2)) d = 0]])

Da primeira equação...

b = - (1 - sqrt(2)) a

Da terceira:

d = - (1 - sqrt(2)) c

Se escolhermos a = 1 e c = 1 ...

v_3 = ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]])

Passo 6

AUTOVETOR 4:

(A - lambda_2 I) v_2 = ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]])

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c],[d]])

Onde a , b , c e d são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_2 I) ([[[[a],[b],[c]]],[d]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda,1,[[0,0]]],[1,-,2,-,lambda,[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[-,lambda],[1]],[[1],[-,2,-,lambda]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]])

Como lambda_3 = sqrt(2) - 1 ...

([[1,-,sqrt(2),1,[[0,0]]],[1,-,2,+,1,-,sqrt(2),[[0,0]]],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[[[1,-,sqrt(2)],[1]],[[1],[-,2,+,1,-,sqrt(2)]]]]]]) ([[a],[b],[c],[d]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[(1 - sqrt(2)) a + b = 1],[a + (- 1 - sqrt(2)) b = sqrt(2) - 1],[(1 - sqrt(2)) c + d = 1],[c + (- 1 - sqrt(2)) d = sqrt(2) - 1]])

Da primeira equação...

b = - (1 - sqrt(2)) a + 1

Da terceira:

d = - (1 - sqrt(2)) c + 1

Se escolhermos a = 1 e c = 1 ...

v_4 = ([[1],[sqrt(2)],[1],[sqrt(2)]])

Passo 7

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_1 t e^(lambda_2 t) + v_2 e^(lambda_2 t)

x^((3)) = v_3 e^(lambda_3 t)

x^((4)) = v_3 t e^(lambda_3 t) + v_4 e^(lambda_4 t)

Substituindo...

x^((1)) = ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]]) e^((- 1 - sqrt(2)) t)

x^((2)) = ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]]) t e^((- 1 - sqrt(2)) t) + ([[1],[- sqrt(2)],[1],[- sqrt(2)]]) e^((- 1 - sqrt(2)) t)

x^((3)) = ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]]) e^((sqrt(2) - 1) t)

x^((4)) = ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]]) t e^((sqrt(2) - 1) t) + ([[1],[sqrt(2)],[1],[sqrt(2)]]) e^((sqrt(2) - 1) t)

A solução final é então dada pela expressão:

([[x],[y],[z],[w]]) = c_1 x^((1)) + c_2 x^((2)) + c_3 x^((3)) + c_4 x^((4)) ->

([[x],[y],[z],[w]]) = c_1 ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]]) e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_2 ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]]) t e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_2 ([[1],[- sqrt(2)],[1],[- sqrt(2)]]) e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_3 ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]]) e^((sqrt(2) - 1) t) + c_4 ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]]) t e^((sqrt(2) - 1) t) + c_4 ([[1],[sqrt(2)],[1],[sqrt(2)]]) e^((sqrt(2) - 1) t)

Resposta

([[x],[y],[z],[w]]) = c_1 ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]]) e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_2 ([[1],[- (1 + sqrt(2))],[1],[- (1 + sqrt(2))]]) t e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_2 ([[1],[- sqrt(2)],[1],[- sqrt(2)]]) e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_3 ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]]) e^((sqrt(2) - 1) t) + c_4 ([[1],[sqrt(2) - 1],[1],[sqrt(2) - 1]]) t e^((sqrt(2) - 1) t) + c_4 ([[1],[sqrt(2)],[1],[sqrt(2)]]) e^((sqrt(2) - 1) t)

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