1. Resolva
H)
Passo 1
Bem, queremos aqui resolver um sistema 4x4. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 3x3, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?
Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes baseado no sistema:
Agora devemos buscar os autovalores dela!
Passo 2
AUTOVALORES:
Os autovalores de uma matriz são do tipo:
Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair na diagonal principal da matriz , veja:
Usando a regra de Sarrus para determinar o determinante dessa matriz 4x4:
Agora é só simplificar:
Usando o WolframAlpha para resolver o essa equação, vamos obter:
Ou...
O conjunto de soluções fundamentais para cada um deles vão ser:
- Para o que é real e o primeiro a ser avaliado igual a ele...
- Para que é real e o segundo igual ao primeiro...
- Para o que é real e único também:
- Para o que é real e o segundo igual ao terceiro:
Onde , e são os autovetores. Os três autovetores da matriz, como os são todos diferentes, se obtém de forma normal que conhecemos:
Partiu calcular esses autovetores agora?
Passo 3
AUTOVETOR 1:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Da primeira equação...
Da terceira:
Se escolhermos e ...
Passo 4
AUTOVETOR 2:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Da primeira equação...
Da terceira:
Se escolhermos e ...
Passo 5
AUTOVETOR 3:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Da primeira equação...
Da terceira:
Se escolhermos e ...
Passo 6
AUTOVETOR 4:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Da primeira equação...
Da terceira:
Se escolhermos e ...
Passo 7
Logo, as três soluções fundamentais serão:
Substituindo...
A solução final é então dada pela expressão: