1. Resolva

s) (d v)/(d t) = 4 - v^2

Passo 1

Utilizando o método de separação de variáveis podemos reescrever a EDO da seguinte forma:

(d v)/(4 - v^2) = d t

Integrando em ambos os lados, vem

int (d v)/(4 - v^2) = int d t

Passo 2

Sendo assim teremos que,

int (d v)/(4 - v^2) = int d t

(1)/(4) ( ln |(v)/(2) + 1| - ln |(v)/(2) - 1| ) = t + c_1

(1)/(4) ( ln |((v)/(2) + 1)/((v)/(2) - 1)| ) = t + c_1

e^(ln |((v)/(2) + 1)/((v)/(2) - 1)|) = e^(4 ( t + c_1 ))

|((v)/(2) + 1)/((v)/(2) - 1)| = e^(4 ( t + c_1 ))

(v)/(2) + 1 = ((v)/(2) - 1) (e^(4 (t + c_1)))

(v)/(2) + 1 = (v)/(2) (e^(4 (t + c_1))) - e^(4 (t + c_1))

(v)/(2) - (v)/(2) (e^(4 (t + c_1))) = - e^(4 (t + c_1)) - 1

(v)/(2) (1 - (e^(4 (t + c_1)))) = - 1 (e^(4 (t + c_1)) + 1)

v (t) = - (2 (e^(4 (t + c_1)) + 1))/((1 - (e^(4 (t + c_1)))))

v (t) = 2 . ((e^(4 (t + c_1)) + 1))/(((e^(4 (t + c_1))) - 1))

Resposta

v (t) = 2 . ((e^(4 (t + c_1)) + 1))/(((e^(4 (t + c_1))) - 1))

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