Se a e b são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 1, determinar o maior valor de 2a + b.

Passo 1

Fala pessoal, blz??Essa questão é bem tranquila. Primeiramente, usando o teorema de Pitágoras obtemos a seguinte relação:

a 2 + b 2 = 1 → b 2 = 1 - a 2

Passo 2

Agora, como queremos a soma máxima, basta escreve-la em função de uma variável, derivar e igualar a zero.

S o m a = 2 a + b = 2 a + 1 - a 2

Derivando:

S o m a ' = 2 + 1 2 . 2 a 1 - a 2 = 2 + a 1 - a 2

Igualando a zero para acharmos os pontos críticos:

2 + a 1 - a 2 =   0 → a = - 2 1 - a 2 → a 2 4 = 1 - a 2 → 5 a 2 4 = 1 → a = 2 5 5

Passo 3

Tendo ‘‘a’’, basta jogar na expressão da soma em função de a), assim:

S o m a = 2 a + 1 - a 2 → S o m a = 4 5 5 +   1 - 4 5 = 4 5 5 +   1 5 5 = 5

Resposta

S o m a ' =   5