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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Questões para guiar sua revisão - Ex. 13

O que são produtos mistos? Que significado eles têm? Como

são avaliados? Dê um exemplo

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Esta atividade tem como objetivo demonstrar o que são produtos triplos ou produtos mistos como eles são calculados. Pode ficar tranquilo. Vamos resolver um exemplo para esclarecermos este tópico.

Passo 2

Lembre-se! O produto triplo é o cálculo do volume do paralelepípedo formado pelos três vetores envolvidos, u, v e w.A área da base é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores u e v , então teremos | u × v | O módulo do vetor w é a altura do paralelepípedo.Portanto, a resposta para o produto triplo, na forma algébrica é:Volume = área da base ⋅ altura

  = | u × v | | w | | c o s ⁡ θ |   = | ( u × v ) ⋅ w |

Passo 3

Agora, vamos desenvolver o produto misto. Veja o resultado a seguir:

| ( u × v ) ⋅ w |   = u 2 u 3 v 2 v 3 | i - | u 1 u 3 v 1 v 3 | j + | u 1 u 2 v 1 v 2 ∣ k ⋅ w   = w 1 u 2 u 3 v 2 v 3 - w 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + w 3 u 1 u 2 v 1 v 2   = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3

Passo 4

Veja nosso exemplo!Como exemplo vamos encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = i - 2 j + k ,   v = - i + 3 j e w = i + j + 2 k

| ( u × v ) ⋅ w |   = 1 2 1 - 1 3 0 1 1 2   = 6 - 1 + 0 - ( 3 - 4 + 0 )   = 6  unidades cúbicas 

Resposta

Portanto, o resultado você já sabe, ou seja, sabemos o que é um produto triplo, seu significado matemático e como calcular o volume de um paralelepípedo.