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Enunciado

Cálculo - Michael Spivak - Calculo Em Variedades- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 6

Sea f : R 2 → R definida por f x , y = x y . Probar que f no es diferenciable em (0,0)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Vamos usar o inverso, se f é diferenciavel em (0,0), logo:

D   f x , y = 0

Tomemos então dois ponto, de x e de y, próximo de 0, e verificar seu resultado.

Assim façamos:

lim h → 0 ⁡ f h , 0 h = 0 = lim k → 0 ⁡ f 0 , k k

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Se fizermos h = k > 0 e tomarmos a sequência h , h → ( 0,0 ) temos

lim h , h → 0,0 ⁡ f h , h - f 0,0 - 0 h , h = lim h , h → 0,0 ⁡ h h 2 + h 2

lim h , h → 0,0 ⁡ h 2 h 2 = 1 2 ≠ 0

Portanto, f não é diferenciavel

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)