Sendo v = (d x)/(d t) determine a relação entre v e x .

c ) overset(¨)(x) - overset(˙)(x)^2 + x = 0

Passo 1

Vamos lá galera! Nessa questão, temos uma mudança de variável junto com o conceito de variável dupla para redução de uma equação autônoma de ordem 2 a uma equação de ordem 1. A primeiro momento parece bem estranho, mas passo a passo fica fácil! Primeiro, temos que:

De:

v = (d x)/(d t)

Segue:

overset(¨)(x) = (d v)/(d t) = (d v)/(d x) (d x)/(d t)

Ou seja,

overset(¨)(x) = v (d v)/(d x)

E,

overset(˙)(x) = v^2

Passo 2

Substituindo isso na nossa equação, temos:

(d v)/(d x) = v - x v^(- 1)

Olha só galera! Essa mudança de variáveis nos retornou uma equação de Bernoulli, do tipo:

(d v)/(d x) = v - x v^(- 1)

Que é equivalente a:

2 v (d v)/(d x) = 2 v^2 - 2 x

Passo 3

Com a mudança u = v^2 , obtemos a equação linear:

(d u)/(d x) = 2 u - 2 x

Cuja solução é:

u = e^2 [k - int 2 x e^(- 2 x) d x]

De

int 2 x e^(- 2 x) d x = x e^(- 2 x) + (e^(- 2 x))/(2)

Resulta,

v^2 = k e^(2 x) + x + (1)/(2)

Resposta

v^2 = k e^(2 x) + x + (1)/(2)

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