Sendo v = (d x)/(d t) determine a relação entre v e x

x^(' ') - x x^(' 2) + x = 0

Passo 1

Meus lindos e minhas lindas:

Para resolver a equação, dada por:

x^(' ') - x x^(' 2) + x = 0

Teremos:

{[[v = (d x)/(d t) = x '],[v (d v)/(d x) = (d^2 x)/(d t^2) = x ' ']])

Agora precisamos substituir:

v (d v)/(d x) - x v^2 + x = 0

v (d v)/(d x) + x ( 1 - v^2 ) = 0

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por d x :

v d v + x d x ( 1 - v^2 )

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por (1 - v^2) :

(v)/(1 - v^2) d v = - x d x

Agora vamos integrar:

int (v)/(1 - v^2) d v = - int x d x

- (1)/(2) ln (1 - v^2) = - (1)/(2) x^2 + k

Por fim, ao fazermos as operações algébricas:

v^2 = 1 + k e^(x^2)

Resposta

v^2 = 1 + k e^(x^2)

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