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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 98

Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

98. 1 , 1   +   1   , 1 +   1 +   1 , 1   +   1 +   1 +   1 ,   ⋯

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem? Que bom! Então, sem mais delongas, vamos partir para mais uma resolução!

Nós temos que assumir que a sequência converge e encontrar o limite. Antes disso, a gente tem que encontrar a equação de recursão. Para isso, temos que notar que

a 1 = 1 , a 2 = 1   +   1   = 1   +   a 1 , a 3 = 1 +   1 +   1 = 1   +   a 2 , ⋯

⇒ a n + 1 = 1   +   a n

Passo 2

Beleza! Agora de posse dessa informação e usando:

l i m n → ∞ a n = L

nós ficamos com

l i m n → ∞ a n + 1 = l i m n → ∞ 1   +   a n = 1   + l i m n → ∞   a n

⇒ L = 1   + L

⇒ L 2 = 1 + L

⇒ L 2 - L - 1 = 0

⇒ L = 1   ±   1 -   4   ⋅   1   ⋅   ( - 1 ) 2 = 1 2 ± 5 2  

⇒ L = 1,618 ,   L = 0,618

Passo 3

Ok, agora temos que descobrir qual desses valores de L é o correto. Bom, se a gente olhar bem pra sequência, dá pra notar que ela é crescente, ou seja, o próximo termo é sempre maior que o anterior. Então, sabendo disso, vemos que o menor valor que a sequência pode ter ocorre em a 1 = 1 = 1 . Ou seja, não podemos ter L < 1 , o que já elimina L = 0,618 . Então, ficamos com

L = 1 2 + 5 2

Resposta

1 2 + 5 2