A série

∑ n = 1 + ∞ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n

é uma série convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Meus príncipes e princesas!!!

Vamos fazer uso do critério de Raabe, para a série:

∑ n = 1 + ∞ a n

L = lim n → + ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n

a) L > 1   o u   L = + ∞ ⇒ a série é convergente.

b) L < 1   o u   L = - ∞ ⇒ a série é divergente

c) L = 1 o critério é inconclusivo.

L = lim n → + ∞ n ( 1 - ⁡ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n ( 2 n + 2 ) 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n ) = l i m n → + ∞ n 1 - 2 n + 1 2 n + 2 = l i m n → + ∞ n 1 2 n + 2

L = l i m n → + ∞ n 1 n 2 + 2 n = 1 2

Pelo critério, como L = 1 2 < 1 , a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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