O sistema mola-massa do Problema 31 , suponha que a força exercida pela mola não e dada pela lei de Hooke, mas, em vez disso, satisfaz a relação:

F s   =   - ( k u   +   e u ³   )

Onde k > 0 e ϵ   é pequeno em módulo, mas pode ter qualquer sinal. A mola é considerada "dura" se ϵ > 0   e "mole" se ϵ < 0   . Por que esses termos são apropriados?

a) Mostre que o deslocamento s ( t ) da massa a partir de sua posicao de equilíbrio satisfaz a equação diferencial

m s "   + γ s ' + k s   + ϵ s ³ = 0

Suponha as condições iniciais s ( 0 ) = 0   e   s ’ ( 0 ) = 1

No restante deste problema suponha m = 0 , k = 1 , γ = 0 .

b) Encontre s ( t ) quando ϵ = 0   e determine, também a amplitude e o período do movimento.

c) Seja ϵ = 0 , 1   Faça o gráfico de uma aproximação numérica da solução. Esse movimento parece ser periódico? Se for, estime a amplitude e o período.

d) Repita o item (c) para ϵ = 0 , 2   e ϵ = 0 , 3

e) Coloque em um gráfico os valores estimados da amplitude A e do período T em função de ϵ . Descreva a maneira segundo a qual A e T, respectivamente, dependem de ϵ .

f) Repita os itens (c), (d) e (e) para valores negativos de ϵ

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício!

Bora lá começar então!

A força restauradora exercida pela mola é:

F s   =   - ( k u   +   e u ³   )

Em oposição a essa força restauradora em um força viscosa dada por:

F d = - γ u '

Agora com base na segunda lei de Newton, com o sentido positivo para a direita temos:

F s   +   F d = m u "

Unido as equações:

- k u   +   e u 3 + γ u ' =   m u "

Que simplificando temos a equação e aplicando as condições iniciais:

m s "   + γ s ' + k s   + ϵ s ³ = 0

Tranquilo?

Vamos continuar então!

Passo 2

Com os valores de parâmetro especificados, a equação do movimento:

u " + u ' = 0

Possui solução geral:

u t = - A   c o s t + B s e n t

Aplicando as condições iniciais

u t = s e n t

Logo a amplitude para a função seno é R   =   1 e o período do movimento é T = 2 π

Passo 3

Dado ϵ = 0,1   a equação do movimento é:

u "   + u   + 0.1 u ³ = 0

A solução desta EDO é dada de forma numérica. Através dela podemos estimar que:

A   =   0,98   e   T   =   6,07

Esboçando o gráfico teremos:

Passo 4

Dado ϵ = 0,2   a equação do movimento é:

u "   + u   + 0.1 u ³ = 0

A solução desta EDO é dada de forma numérica. Através dela podemos estimar que:

A   =   0,96   e   T   =   5,90

Dado ϵ = 0.3   a equação do movimento é:

u "   + u   + 0.1 u ³ = 0

A solução desta EDO é dada de forma numérica. Através dela podemos estimar que:

A   =   0,94   e   T   =   5,74

Esboçando o gráfico teremos:

Até aí tranquilo?

Quase acabando continua por aqui, beleza!

Como o período T depende de ϵ .

A amplitude e o período parecem diminuir.

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Passo 5

Dado ϵ = - 0,1   a equação do movimento é:

u "   + u   + 0.1 u ³ = 0

A solução desta EDO é dada de forma numérica. Através dela podemos estimar que:

A   =   1,03   e   T   =   6,55

Dado ϵ = - 0.2   a equação do movimento é:

u "   + u   + 0.1 u ³ = 0

A solução desta EDO é dada de forma numérica. Através dela podemos estimar que:

A   =   1,06   e   T   =   6,90

Dado ϵ = - 0.3   a equação do movimento é:

u "   + u   + 0.1 u ³ = 0

A solução desta EDO é dada de forma numérica. Através dela podemos estimar que:

A   =   1,11   e   T   =   7,41

Esboçando o gráfico teremos:

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

b) Amplitude para a função seno é R   =   1 e o período do movimento é T = 2 π

c )   A   =   0,98   e   T   =   6,0 7

d )   A   =   0,96   e   T   =   5,9 0 ;   A   =   0,94   e   T   =   5,7 4

f ) A   =   1,03   e   T   =   6,55   ;   A   =   1,06   e   T   =   6,90 ;   A   =   1,11   e   T   =   7,41