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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 59

Suponha que a_n > 0 e underset(n -> oo)(lim) (a_n) = oo . Prove que sum a_n diverge.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos diz que

sum a_n c o n v e r g e

Logo, podemos dizer que

underset(n -> oo)(lim) (a_n) = 0 ( T e s t e d a d i v e r g ê n c i a )

Show. Agora, olha que interessante. Se quando n -> oo o nosso limite é igual a zero, podemos concluir então que:

0 < a_n < 1

Se multiplicarmos todos os termos por a_n ,

0 . (a_n) < a_n . ( a_n ) < 1 . ( a_n )

0 < a_n ² < ( a_n )

Para ficar mais claro de enxergar, vamos dizer que:

a_n^2 = b_n

Logo, vamos ter que:

{[[sum a_n,,c,o,n,v,e,r,g,e],[b_n,<,a_n]])

Pelo teste da comparação, então podemos afirmar que:

sum b_n = sum a_n^2 c o n v e r g e

Resposta

sum a_n^2 c o n v e r g e

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