22- Calcule os coeficientes de Fourier para a função da Figura 17.60 .

Passo 1

O período da onda do meio começa em - 1 e termina em 3 , logo o período dessa onda é de:

T = 4

O que nos dá um ω de:

ω = 2 π T = 2 π 4 = π 2

E as equações dentro desse período são:

f t = - 4 t ;   - 1 < t < 0

f t = 4 t ; 0 < t < 1

Passo 2

Dessa forma o coeficiente a o será:

a o = 1 4 ∫ - 1 0 - 4 t   d t + ∫ 0 1 4 t   d t

a o = 1 4 - 4 t 2 2 - 1 0 + 4 t 2 2 0 1

a o = 1 4 4 2 + 4 2 = 1

Note que podemos dizer que:

∫ - T 0 - f t d t + ∫ 0 T f ( t ) d t = 2 ∫ 0 T f t d t

Passo 3

Agora para a n :

a n = 2 4 2 ∫ 0 1 4 t c o s n π 2 t d t

a n = 4 ∫ 0 1 t cos ⁡ n π t 2 d t

Fazendo a integração por partes:

u = t → d u = d t

d v = cos ⁡ n π t 2 → v = 2 n π sin ⁡ n π t 2

∫ u d v = u v - ∫ v d u

a n = 4 2 t n π s i n n π t 2 - 2 n π ∫ sin ⁡ n π t 2 d t

a n = 4 2 t n π sin ⁡ n π t 2 + 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π t 2 0 1

a n = 8 n π s in ⁡ n π 2 + 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π 2 - 16 n 2 π 2

Passo 4

Agora b n :

Pela reta ser decrescente no lado negativo e crescente no lado positivo do eixo horizontal nós conseguimos ver que a função é par, portanto não há b n . Matematicamente isso pode não ser verificado, mas acredite quando colocamos b n = 0   e os parâmetros que encontramos nós encontramos o seguinte gráfico para 100 pontos. Então a teoria se faz correta.

Resposta

a o = 1

a n = 8 n π sin ⁡ n π 2 + 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π 2 - 16 n 2 π 2

b n = 0

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