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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.2 - Ex. 4

Calcule a antitransformada de

a ) e - 2 s s + 3

b ) s + 1 s 2 ⋅ e - s

c ) 2 s s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos começar o cálculo das antitransformadas dessas belezinhas aqui. O mesmo esquema de sempre => uma letra por passo. Assim, vamos começar.

a) Temos uma exponencial no domínio da frequência. Isso significa que vamos ter uma translação no tempo. E temos uma translação do domínio do tempo. Isso significa que vamos ter uma exponencial no domínio do tempo. Assim, vamos começar.

Para a exponencial e - 2 s , vamos ter algo na função original do tipo f t - 2 u ( t - 2 ) . E como há um denominador com s + 3 , vamos ter uma exponencial do tipo e - 3 t . Juntando tudo isso, vamos ter a seguinte expressão:

L - 1 e - 2 s s + 3 = e - 3 ( t - 2 ) ⋅ u ( t - 2 )

Passo 2

b) Novamente, temos uma exponencial no domínio da frequência. Assim, teremos uma função no domínio do tempo da seguinte maneira: f t - 1 u ( t - 1 ) . Além disso, vamos separar a fração em duas:

s + 1 s 2 e - s = s s 2 + 1 s 2 e - s = 1 s + 1 s 2 e - s

Como

L u t = 1 s                       e                   L t = 1 s 2

Então

L - 1 s + 1 s 2 e - s = u t - 1 + t - 1 u t - 1 = 1 + t - 1 u t - 1 = t ⋅ u ( t - 1 )

Passo 3

c) Aqui nesta questão, vamos completar o quadrado do denominador pra facilitar as contas:

2 s s 2 + 2 s + 5 = 2 ⋅ s s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 ⋅ s s + 1 2 + 4 = 2 ⋅ s s + 1 2 + 2 2

Agora, vamos observar o seguinte: como temos uma translação na fração, s + 1 , todas as variáveis “s” devem ter esta translação. Assim, vamos manipular o numerador somando e subtraindo 1:

2 ⋅ s s + 1 2 + 2 2 = 2 ⋅ s + 1 - 1 s + 1 2 + 2 2 = 2 ⋅ s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 s + 1 2 + 2 2

= 2 ⋅ s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 2 s + 1 2 + 2 2

L - 1 2 s s 2 + 2 s + 5 = 2 ⋅ e - t ⋅ cos ⁡ 2 t ⋅ u t - e - t . sin ⁡ 2 t ⋅ u ( t )

Resposta

a )   L - 1 e - 2 s s + 3 = e - 3 ( t - 2 ) ⋅ u ( t - 2 )

b )   L - 1 s + 1 s 2 e - s = t ⋅ u ( t - 1 )

c )   L - 1 2 s s 2 + 2 s + 5 = [ 2 e - t ( cos ⁡ 2 t - sin ⁡ 2 t ) ] u ( t )