Calcule a antitransformada de:

F (s) = (2 s^2 + s + 2)/(s (s^2 + 1)^2)

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos pediu pra transformar F ( s ) em f ( t ) , sendo F ( s ) .

F (s) = (2 s^2 + s + 2)/(s (s^2 + 1)^2)

Podemos dividir F (s) em frações parciais, dessa forma.

F (s) = (2)/(s) - (2 s)/(s^2 + 1) + (1)/((s^2 + 1)^2)

Agora ficou mais fácil, né?

Passo 2

Agora podemos calcular a inversa de todas as parciais.

(1) L^(- 1) [(2)/(s)] = 2 L^(- 1) [(1)/(s)] 2 u ( t )

(2) L^(- 1) [(2 s)/(s^2 + 1)] = 2 L^(- 1) [(s)/(s^2 + 1)] = 2 c o s ( t )

(3) L^(- 1) [(2 a ³)/((s^2 + a ²)^2)] = (1)/(2) L^(- 1) [(2)/((s^2 + 1)^2)] = (1)/(2) (s e n (t) - t c o s (t))

Juntando tudo novamente, temos:

L^(- 1) [(2 s^2 + s + 2)/(s (s^2 + 1)^2)] = L^(- 1) [(2)/(s)] - L^(- 1) [(2 s)/(s^2 + 1)] + (1)/(2) L^(- 1) [(2)/((s^2 + 1)^2)]

L^(- 1) [(2 s^2 + s + 2)/(s (s^2 + 1)^2)] = 2 u (t) - 2 cos (t) + (1)/(2) (s e n (t) - t c o s (t))

Achou fácil? A pratica leva a perfeição, vamos praticar mais!

Resposta

2 u (t) - 2 cos (t) + (1)/(2) (s e n (t) - t c o s (t))