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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 10

Calcule a antitransformada de:

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos pediu paca calcular a transformada inversa de algumas funções F ( s ) .

(a)

F_a (s) = (1 + e^(- pi s))/(s^2 + 4)

Podemos dividir F_a (s) em duas frações:

F_a (s) = (1)/(s^2 + 4) + (e^(- pi s))/(s^2 + 4)

F_a (s) = (1)/(s^2 + 2 ²) + (e^(- pi s))/(s^2 + 2 ²)

Vemos que as parciais se parecem muito com a transformada de s e n ( omega t ) , logo.

L^(- 1) [(1)/(s^2 + 2^2)]

L^(- 1) [(1)/(2) * (2)/(s^2 + 2 ²)] = (1)/(2) s e n ( 2 t )

Se L^(- 1) [e^(- a s) F (s)] = u (t - a) f ( t - a ) podemos “tirar” o e^(- pi t) da fração, assim...

L^(- 1) [(e^(- pi s))/(s^2 + 2^2)]

L^(- 1) [e^(- pi s) (1)/(s^2 + 2^2)] -> L^(- 1) [e^(- pi s) * (1)/(2) * (2)/(s^2 + 2^2)]

A transformada de (1)/(2) * (2)/(s^2 + 2^2) acabamos de ver que é (1)/(2) s e n ( 2 t ) , aplicando a propriedade acima, temos:

L^(- 1) [e^(- pi s) * (1)/(2) * (2)/(s^2 + 2^2)] = 𝑢𝑡−𝜋 1 2𝑠𝑒𝑛2𝑡−𝜋

L^(- 1) [(1 + e^(- pi s))/(s^2 + 4)] = (1)/(2) s e n (2 t) + u (t - pi) (1)/(2) s e n (2 (t - pi))

Passo 2

(b)

F_b (s) = (e^(- 4 s) - e^(- 7 s))/(s^2)

Da mesma forma que dividimos a função do item anterior, dividir essa.

F_b (s) = (e^(- 4 s))/(s^2) - (e^(- 7 s))/(s^2)

Também como o item anterior, se L^(- 1) [e^(- a s) F (s)] = u (t - a) f ( t - a ) podemos “tirar” o e^(- a t) da fração, assim...

L^(- 1) [(e^(- 4 s))/(s^2)] - L^(- 1) [(e^(- 7 s))/(s^2)] -> L^(- 1) [e^(- 4 s) (1)/(s^2)] - L^(- 1) [e^(- 7 s) (1)/(s^2)]

Sabemos que a transformada de t = 1 // s^2 , logo.

L^(- 1) [e^(- 4 s) (1)/(s^2)] - L^(- 1) [e^(- 7 s) (1)/(s^2)] = u (t - 4) (t - 4) - u ( t - 7 ) ( t - 7 )

Passo 3

(c) adianto que vamos aplicar a mesma definição, se L^(- 1) [e^(- a s) F (s)] = u (t - a) f ( t - a ) podemos “tirar” o e^(- a t) da fração, mas dessa vez, veio mais explicito, vou te mostrar...

F_c (s) = (5 s + 6)/(s^2 + 9) e^(- pi s)

L^(- 1) [e^(- a s) F (s)] = L^(- 1) [e^(- pi s) (5 s + 6)/(s^2 + 9)]

Ficou fácil de ver? Temos que encontrar L^(- 1) [(5 s + 6)/(s^2 + 9)] e substituir em f ( t - a ) na definição.

L^(- 1) [(5 s + 6)/(s^2 + 9)] = L^(- 1) [(5 s)/(s^2 + 3 ²)] + L^(- 1) [(6)/(s^2 + 3 ²)]

L^(- 1) [(5 s)/(s^2 + 3 ²)] = 5 c o s ( 3 t )

L^(- 1) [(2 * 3)/(s^2 + 3 ²)] = 2 s e n ( 3 t )

L^(- 1) [(5 s + 6)/(s^2 + 9)] = 5 cos (3 t) + 2 s e n ( 3 t )

Substituindo na definição.

L^(- 1) [e^(- pi s) (5 s + 6)/(s^2 + 9)] = u (t - pi) (5 cos (3 t) + 2 s e n (3 t))

Passo 4

(d)

F_d (s) = (2 (1 + e^(- (pi)/(2) s)))/(s^2 + 2 s + 5)

L^(- 1) [(2 (1 + e^(- (pi)/(2) s)))/(s^2 + 2 s + 5)] -> 2 L^(- 1) [(1 + e^(- (pi)/(2) s))/(s^2 + 2 s + 5)] -> 2 (L^(- 1) [(1)/(s^2 + 2 s + 5)] + L^(- 1) [(e^(- (pi)/(2) s))/(s^2 + 2 s + 5)])

Vamos continuar usando a propriedade que usamos nos últimos itens, porém vamos acrescentar mais uma propriedade que já eu conto qual é, vamos por partes.

Podemos escrever s^2 + 2 s + 5 como (s + 1)^2 + 4 , aí que entra a novidade.

2 (L^(- 1) [(1)/((s + 1)^2 + 4)] + L^(- 1) [(e^(- (pi)/(2) s))/((s + 1)^2 + 4)])

Nossa novidade é L^(- 1) [F (s + a)] = e^(- a t) f ( t ) , que no caso, a = - 1 e F (s) = (1)/(s^2 + 4) , logo.

L^(- 1) [(1)/((s + 1)^2 + 4)] = e^(- 1 t) (1)/(2) s e n ( 2 t )

Na segunda transformada usaremos as duas propriedades.

L^(- 1) [(e^(- (pi)/(2) s))/((s + 1)^2 + 4)] = u (t - (pi)/(2)) e^(- 1 (t - (pi)/(2))) (1)/(2) s e n (2 (t - (pi)/(2)))

Juntando tudo, temos:

L^(- 1) [(2 (1 + e^(- (pi)/(2) s)))/(s^2 + 2 s + 5)] = 2 (L^(- 1) [(1)/((s + 1)^2 + 4)] + L^(- 1) [(e^(- (pi)/(2) s))/((s + 1)^2 + 4)])

L^(- 1) [(2 (1 + e^(- (pi)/(2) s)))/(s^2 + 2 s + 5)] = 2 (e^(- 1 t) (1)/(2) s e n (2 t) + u (t - (pi)/(2)) e^(- 1 (t - (pi)/(2))) (1)/(2) s e n (2 (t - (pi)/(2))))

L^(- 1) [(2 (1 + e^(- (pi)/(2) s)))/(s^2 + 2 s + 5)] = e^(- 1 t) s e n (2 t) + u (t - (pi)/(2)) e^(- 1 (t - (pi)/(2))) s e n (2 t - pi)

Um pouco trabalhoso, né? Mas lembre-se a pratica leva a perfeição, vamos praticar mais.

Resposta

(a) (1)/(2) s e n (2 t) + u (t - pi) (1)/(2) s e n (2 (t - pi))

(b) u (t - 4) (t - 4) - u ( t - 7 ) ( t - 7 )

(c) u (t - pi) (5 cos (3 t) + 2 s e n (3 t))

(d) e^(- 1 t) s e n (2 t) + u (t - (pi)/(2)) e^(- 1 (t - (pi)/(2))) s e n (2 t - pi)