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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 10

Calcule a antitransformada de:

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos pediu paca calcular a transformada inversa de algumas funções F ( s ) .

(a)

F a s = 1 + e - π s s 2 + 4

Podemos dividir F a s em duas frações:

F a s = 1 s 2 + 4 + e - π s s 2 + 4

F a s = 1 s 2 + 2 ² + e - π s s 2 + 2 ²

Vemos que as parciais se parecem muito com a transformada de s e n ( ω t ) , logo.

L - 1 1 s 2 + 2 2

L - 1 1 2 · 2 s 2 + 2 ² = 1 2 s e n ( 2 t )

Se L - 1 e - a s F s = u t - a f ( t - a ) podemos “tirar” o e - π t da fração, assim...

L - 1 e - π s s 2 + 2 2

L - 1 e - π s 1 s 2 + 2 2 → L - 1 e - π s · 1 2 ·   2 s 2 + 2 2

A transformada de 1 2 ·   2 s 2 + 2 2 acabamos de ver que é 1 2 s e n ( 2 t ) , aplicando a propriedade acima, temos:

L - 1 e - π s · 1 2 ·   2 s 2 + 2 2 = 𝑢𝑡−𝜋 1 2𝑠𝑒𝑛2𝑡−𝜋

L - 1 1 + e - π s s 2 + 4 = 1 2 s e n 2 t + u t - π 1 2 s e n 2 t - π

Passo 2

(b)

F b s = e - 4 s - e - 7 s s 2

Da mesma forma que dividimos a função do item anterior, dividir essa.

F b s = e - 4 s s 2 - e - 7 s s 2

Também como o item anterior, se L - 1 e - a s F s = u t - a f ( t - a ) podemos “tirar” o e - a t da fração, assim...

L - 1 e - 4 s s 2 - L - 1 e - 7 s s 2 → L - 1 e - 4 s 1 s 2 - L - 1 e - 7 s 1 s 2

Sabemos que a transformada de t = 1 / s 2 , logo.

L - 1 e - 4 s 1 s 2 - L - 1 e - 7 s 1 s 2 = u t - 4 t - 4 - u ( t - 7 ) ( t - 7 )

Passo 3

(c) adianto que vamos aplicar a mesma definição, se L - 1 e - a s F s = u t - a f ( t - a ) podemos “tirar” o e - a t da fração, mas dessa vez, veio mais explicito, vou te mostrar...

F c s = 5 s + 6 s 2 + 9 e - π s

L - 1 e - a s F s = L - 1 e - π s 5 s + 6 s 2 + 9

Ficou fácil de ver? Temos que encontrar L - 1 5 s + 6 s 2 + 9 e substituir em f ( t - a ) na definição.

L - 1 5 s + 6 s 2 + 9 = L - 1 5 s s 2 + 3 ² + L - 1 6 s 2 + 3 ²

L - 1 5 s s 2 + 3 ² = 5 c o s ⁡ ( 3 t )

L - 1 2 · 3 s 2 + 3 ² = 2 s e n ( 3 t )

L - 1 5 s + 6 s 2 + 9 = 5 cos ⁡ 3 t + 2   s e n ( 3 t )

Substituindo na definição.

L - 1 e - π s 5 s + 6 s 2 + 9 = u t - π 5 cos ⁡ 3 t + 2   s e n 3 t

Passo 4

(d)

F d s = 2 1 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 5

L - 1 2 1 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 5 → 2 L - 1 1 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 5 → 2 L - 1 1 s 2 + 2 s + 5 + L - 1 e - π 2 s s 2 + 2 s + 5

Vamos continuar usando a propriedade que usamos nos últimos itens, porém vamos acrescentar mais uma propriedade que já eu conto qual é, vamos por partes.

Podemos escrever s 2 + 2 s + 5 como s + 1 2 + 4 , aí que entra a novidade.

2 L - 1 1 s + 1 2 + 4 + L - 1 e - π 2 s s + 1 2 + 4

Nossa novidade é L - 1 F s + a = e - a t f ( t ) , que no caso, a = - 1 e F s = 1 s 2 + 4 , logo.

L - 1 1 s + 1 2 + 4 = e - 1 t 1 2 s e n ( 2 t )

Na segunda transformada usaremos as duas propriedades.

L - 1 e - π 2 s s + 1 2 + 4 = u t - π 2 e - 1 t - π 2 1 2 s e n 2 t - π 2

Juntando tudo, temos:

L - 1 2 1 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 5 = 2 L - 1 1 s + 1 2 + 4 + L - 1 e - π 2 s s + 1 2 + 4

L - 1 2 1 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 5 = 2 e - 1 t 1 2 s e n 2 t + u t - π 2 e - 1 t - π 2 1 2 s e n 2 t - π 2

L - 1 2 1 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 5 = e - 1 t s e n 2 t + u t - π 2 e - 1 t - π 2 s e n 2 t - π  

Um pouco trabalhoso, né? Mas lembre-se a pratica leva a perfeição, vamos praticar mais.

Resposta

(a) 1 2 s e n 2 t + u t - π 1 2 s e n 2 t - π

(b) u t - 4 t - 4 - u ( t - 7 ) ( t - 7 )

(c) u t - π 5 cos ⁡ 3 t + 2   s e n 3 t

(d) e - 1 t s e n 2 t + u t - π 2 e - 1 t - π 2 s e n 2 t - π