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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 18a

Calcule a antitransformada de

a ) (3 s^2 + 6)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 ))

Passo 1

E aí, beleziiiiiiiiiinha? Ou belezão?

Sem mais delongas, bora começar essa questão expressando essa transformada em termos de frações parciais:

(3 s^2 + 6)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 )) = (A s + B)/(s^2 + 1) + (C s + D)/(s^2 + 4) = ((A s + B) (s^2 + 4) + ( C s + D ) ( s^2 + 1 ))/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 ))

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores e trabalhar apenas com eles:

3 s^2 + 6 = (A s + B) (s^2 + 4) + ( C s + D ) ( s^2 + 1 )

3 s^2 + 6 = A s^3 + 4 A s + B s^2 + 4 B + C s^3 + C s + D s^2 + D

3 s^2 + 6 = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + (4 A + C) s + ( 4 B + D )

Passo 2

De posse dessa equação, vamos chegar ao seguinte sistema

{[[A + C = 0],[B + D = 3],[4 A + C = 0],[4 B + D = 6]])

As variáveis podem ser reagrupadas em dois sistemas diferentes:

{[[A + C = 0],[4 A + C = 0]])

=> A = C = 0

e

{[[B + D = 3],[4 B + D = 6]])

=> B = 1 e D = 2

Assim, a transformada pode ser escrita como

(3 s^2 + 6)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 )) = (1)/(s^2 + 1) + (2)/(s^2 + 4)

Passo 3

Essa transformada é do tipo trigonométrica e não há necessidade de fazermos alterações no denominador, assim

f (t) = [sin t + sin 2 t] u ( t )

Resposta

f (t) = [sin t + sin 2 t] u ( t )