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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 18a

Calcule a antitransformada de

a ) 3 s 2 + 6 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Passo 1

E aí, beleziiiiiiiiiinha? Ou belezão?

Sem mais delongas, bora começar essa questão expressando essa transformada em termos de frações parciais:

3 s 2 + 6 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 4 = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores e trabalhar apenas com eles:

3 s 2 + 6 = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) ( s 2 + 1 )

3 s 2 + 6 = A s 3 + 4 A s + B s 2 + 4 B + C s 3 + C s + D s 2 + D

3 s 2 + 6 = A + C s 3 + B + D s 2 + 4 A + C s + ( 4 B + D )

Passo 2

De posse dessa equação, vamos chegar ao seguinte sistema

A + C = 0 B + D = 3 4 A + C = 0 4 B + D = 6

As variáveis podem ser reagrupadas em dois sistemas diferentes:

A + C = 0 4 A + C = 0

⇒ A = C = 0

e

B + D = 3 4 B + D = 6

⇒ B = 1   e   D = 2

Assim, a transformada pode ser escrita como

3 s 2 + 6 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = 1 s 2 + 1 + 2 s 2 + 4

Passo 3

Essa transformada é do tipo trigonométrica e não há necessidade de fazermos alterações no denominador, assim

f t = sin ⁡ t + sin ⁡ 2 t u ( t )

Resposta

f t = sin ⁡ t + sin ⁡ 2 t u ( t )