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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 18c

Calcule a antitransformada de

s 2 + 5 s + 5 s + 1 s + 2 2

Passo 1

Show de bola, galera! Seguindo nossa sequência de cálculo de transformada inversa, vamos prosseguir aqui na resolução desta transformada muito massinha.

Como é de praxe, vamos separar a fração dada em frações parciais:

s 2 + 5 s + 5 s + 1 s + 2 2 = A s + 1 + B s + 2 2 + C s + 2

Passo 2

Vamos agora encontrar os coeficientes:

A = s + 1 F s s = - 1 = s 2 + 5 s + 5 s + 2 2 s = - 1 = - 1 2 + 5 - 1 + 5 ( - 1 + 2 ) ^ 2 = 1 1 2 ⇒ A = 1

B = s + 2 2 F s s = - 2 = s 2 + 5 s + 5 s + 1 s = - 2 = - 2 2 + 5 - 2 + 5 - 2 + 1 = 4 - 10 + 5 - 1 = - 1 - 1

⇒ B = 1

Para calcularmos C , vamos precisar de uma fórmula não tão usual:

C = d d s [ s + 2 2 F ( s ) ]   s = - 2 = d d s s 2 + 5 s + 5 ( s + 1 ) s = - 2  

= 2 s + 5 s + 1 - s 2 + 5 s + 5 ⋅ 1 s + 1 2 s = - 2 = 2 - 2 + 5 - 2 + 1 - [ - 2 2 + 5 - 2 + 5 ] - 2 + 1 2

= 1 - 1 - ( - 1 ) 1 2 = - 1 + 1 1 2 ⇒ C = 0

Assim, podemos expressar a transformada como

s 2 + 5 s + 5 s + 1 s + 2 2 = 1 s + 1 + 1 s + 2 2

Passo 3

Agora, é só achar a função que originou essa transformada. Como temos translações no domínio da frequência, teremos que ter exponenciais no domínio do tempo:

f t = e - t + t e - 2 t u ( t )

Resposta

f t = e - t + t e - 2 t u ( t )