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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 18c

Calcule a antitransformada de

(s^2 + 5 s + 5)/((s + 1) (s + 2)^2)

Passo 1

Show de bola, galera! Seguindo nossa sequência de cálculo de transformada inversa, vamos prosseguir aqui na resolução desta transformada muito massinha.

Como é de praxe, vamos separar a fração dada em frações parciais:

(s^2 + 5 s + 5)/((s + 1) (s + 2)^2) = (A)/(s + 1) + (B)/((s + 2)^2) + (C)/(s + 2)

Passo 2

Vamos agora encontrar os coeficientes:

A = ((s + 1) F (s)|_s = - 1 = ((s^2 + 5 s + 5)/((s + 2)^2)|_s = - 1 = ((- 1)^2 + 5 (- 1) + 5)/(( - 1 + 2 ) ^ 2) = (1)/(1^2) => A = 1

B = ((s + 2)^2 F (s)|_s = - 2 = ((s^2 + 5 s + 5)/((s + 1))|_s = - 2 = ((- 2)^2 + 5 (- 2) + 5)/((- 2 + 1)) = (4 - 10 + 5)/(- 1) = (- 1)/(- 1)

=> B = 1

Para calcularmos C , vamos precisar de uma fórmula não tão usual:

C = (d)/(d s) [ ((s + 2)^2 F ( s ) ]|_s = - 2 = (d)/(d s) ([(s^2 + 5 s + 5)/(( s + 1 ))]|_s = - 2

= (((2 s + 5) (s + 1) - (s^2 + 5 s + 5) * 1)/((s + 1)^2)|_s = - 2 = ([2 (- 2) + 5] [- 2 + 1] - [ (- 2)^2 + 5 (- 2) + 5 ])/([- 2 + 1]^2)

= (1 (- 1) - ( - 1 ))/(1^2) = (- 1 + 1)/(1^2) => C = 0

Assim, podemos expressar a transformada como

(s^2 + 5 s + 5)/((s + 1) (s + 2)^2) = (1)/(s + 1) + (1)/((s + 2)^2)

Passo 3

Agora, é só achar a função que originou essa transformada. Como temos translações no domínio da frequência, teremos que ter exponenciais no domínio do tempo:

f (t) = [e^(- t) + t e^(- 2 t)] u ( t )

Resposta

f (t) = [e^(- t) + t e^(- 2 t)] u ( t )