Calcule a antitransformada de

b ) (4 s^2)/(s^4 - 1)

Passo 1

- Por favor.

- Por favor.

- Não me amole.

- Não me amole.

- Com esse papo.

- Com esse papo.

- De transformada

- Aí não dá, velho... A parte mais simples desse capítulo é essa. Mas isso não significa que não seja trabalhosa. Mas nada que a prática não dê um jeito.

Vamos começar expressando esse denominador como um produto. Assim

s^4 - 1 = (s^2 + 1) (s^2 - 1) = ( s^2 + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Assim, podemos escrever a transformada como sendo

(4 s^2)/(s^4 - 1) = (4 s^2)/(( s^2 + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 )) = (A s + B)/(s^2 + 1) + (C)/(s + 1) + (D)/(s - 1)

Passo 2

Vamos agora encontrar os coeficientes.

C = ((s + 1) F (s)|_s = - 1 = ((4 s^2)/((s^2 + 1) (s - 1))|_s = - 1 = (4 (- 1)^2)/(((- 1)^2 + 1) (- 1 - 1)) = (4)/(2 (- 2)) = - (4)/(4)

=> C = - 1

D = ((s - 1) F (s)|_s = 1 = ((4 s^2)/((s^2 + 1) (s + 1))|_s = 1 = (4 * 1^2)/(( 1^2 + 1 ) ( 1 + 1 )) = (4)/(2 * 2) = (4)/(4)

=> D = 1

Vamos juntar o que temos:

(4 s^2)/(( s^2 + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 )) = (A s + B)/(s^2 + 1) - (1)/(s + 1) + (1)/(s - 1)

(4 s^2)/(( s^2 + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 )) = ((A s + B) (s + 1) (s - 1) - (s^2 + 1) (s - 1) + ( s^2 + 1 ) ( s + 1 ))/(( s^2 + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ))

Como os denominadores são iguais, podemos trabalhar apenas com os numeradores:

4 s^2 = (A s + B) (s^2 - 1) - [s^3 - s^2 + s - 1] + s^3 + s^2 + s + 1

=> 4 s^2 = A s^3 - A s + B s^2 - B - s^3 + s^2 - s + 1 + s^3 + s^2 + s + 1

=> 4 s^2 = A s^3 + (B + 2) s^2 - A s + ( 2 - B )

Essa equação nos leva ao seguinte sisteminha:

{[[A = 0],[B + 2 = 4],[- A = 0],[2 - B = 0]])

Esse sistema nos leva a:

A = 0 e B = 2

Assim, nossa transformada pode ser escrita como

(4 s^2)/(s^4 - 1) = (2)/(s^2 + 1) - (1)/(s + 1) + (1)/(s - 1)

Passo 3

De posse da transformada escrita em frações parciais, tudo o que nos resta é “voltar” ao domínio do tempo. No presente caso, temos a transformada do seno e duas exponenciais. Assim

f (t) = [2 sin t - e^(- t) + e^t] u ( t )

Resposta

f (t) = [2 sin t - e^(- t) + e^t] u ( t )