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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 21

Calcule a antitransformada de

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

Essa questão pode ser um pouco trabalhosa, mas tenho ctz que vc vai tirar de letra! 😎

Letra A)

(27)/((s + 1)^3 (s + 4))

Desmembrando em frações parciais, temos.

(27)/((s + 1)^3 (s + 4)) = (K_1)/((s + 1)^3) + (K_2)/((s + 1)^2) + (K_3)/(s + 1) + (K_4)/(s + 4)

Vemos que podemos calcular K_1 e K_4 pelo método dor resíduos.

K_1 = ((27)/((s + 1)^3 (s + 4)) (s + 1)^3|_s = - 1

K_1 = ((27)/((s + 4))|_s = - 1

K_1 = 9

K_4 = ((27)/((s + 1)^3 (s + 4)) (s + 4)|_s = - 4

K_4 = ((27)/((s + 1)^3)|_s = - 4

K_4 = - 1

Passo 2

Para calcular K_2 e K_3 , vamos encontrar pelo método de igualdade de polinômios.

(27)/((s + 1)^3 (s + 4)) = (K_1)/((s + 1)^3) + (K_2)/((s + 1)^2) + (K_3)/(s + 1) + (K_4)/(s + 4)

(27)/((s + 1)^3 (s + 4)) = (9)/((s + 1)^3) + (K_2)/((s + 1)^2) + (K_3)/(s + 1) - (1)/(s + 4)

(27)/((s + 1)^3 (s + 4)) = ((s + 4) 9 + (s + 4) (s + 1) K_2 + (s + 4) (s + 1)^2 K_3 - ( s + 1 ) ³)/((s + 1)^3 (s + 4))

27 = (s + 4) 9 + (s + 4) (s + 1) K_2 + (s + 4) (s + 1)^2 K_3 - ( s + 1 ) ³

27 = (K_3 - 1) s^3 + (K_2 + 6 K_3 - 3) s^2 + (6 + 5 K_2 + 9 K_3) s + (35 + 4 K_2 + 4 K_3)

Por igualdade de polinômios, podemos afirmar que:

{[[K_3 - 1 = 0],[K_2 + 6 K_3 - 3 = 0],[6 + 5 K_2 + 9 K_3 = 0],[35 + 4 K_2 + 4 K_3 = 27]])

Logo...

{[[K_3 = 1],[K_2 = - 3]])

Passo 3

Com isso, podemos calcular a antitransformada da equação.

(27)/((s + 1)^3 (s + 4)) = 9 (1)/((s + 1)^3) - 3 (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1) - (1)/(s + 4)

Suas inversas serão:

L^(- 1) {9 (1)/((s + 1)^3)} = (9 t^2 e^(- t))/(2) u (t)

L^(- 1) {3 (1)/((s + 1)^2)} = 3 t e^(- t) u (t)

L^(- 1) {(1)/(s + 1)} = e^(- t) u (t)

L^(- 1) {(1)/(s + 4)} = e^(- 4 t) u (t)

Por fim, o resultado completo será:

L^(- 1) {(27)/((s + 1)^3 (s + 4))} = ((9 t^2 e^(- t))/(2) - 3 t e^(- t) + e^(- t) - e^(- 4 t)) u (t)

L^(- 1) {(27)/((s + 1)^3 (s + 4))} = (((9 t^2)/(2) - 3 t + 1) e^(- t) - e^(- 4 t)) u (t)

Passo 4

Letra B), vamos seguir os mesmos passos do item anterior.

(1)/(s (s + 1)^4)

Desmembrando em frações parciais, temos.

(1)/(s (s + 1)^4) = (K_1)/(s) + (K_2)/((s + 1)^4) + (K_3)/((s + 1)^3) + (K_4)/((s + 1)^2) + (K_5)/(s + 1)

Podemos calcular K_1 e K_2 , por meio do método dos resíduos:

K_1 = ((1)/(s (s + 1)^4) s|_s = 0 -> K_1 = ((1)/((s + 1)^4)|_s = 0 -> K_1 = 1

K_2 = ((1)/(s (s + 1)^4) (s + 1)^4|_s = - 1 -> K_2 = ((1)/(s)|_s = - 1 -> K_2 = - 1

Passo 5

Aplicando o método de igualdade de polinômios, podemos calcular K_3 , K_4 e K_5 .

(1)/(s (s + 1)^4) = (K_1)/(s) + (K_2)/((s + 1)^4) + (K_3)/((s + 1)^3) + (K_4)/((s + 1)^2) + (K_5)/(s + 1)

(1)/(s (s + 1)^4) = (1)/(s) - (1)/((s + 1)^4) + (K_3)/((s + 1)^3) + (K_4)/((s + 1)^2) + (K_5)/(s + 1)

(1)/(s (s + 1)^4) = ((s + 1)^4 - s + (s (s + 1)) K_3 + (s (s + 1) ²) K_2 + (s (s + 1)^3) K_5)/(s (s + 1)^4)

1 = (s + 1)^4 - s + (s (s + 1)) K_3 + (s (s + 1) ²) K_2 + (s (s + 1)^3) K_5

1 = (K_5 + 1) s^4 + (4 + K_4 + 3 K_5) s^3 + (6 + K_3 + 2 K_4 + 3 K_5) s^2 + (3 + K_3 + K_4 + K_5) s + 1

Com isso, podemos concluir que por igualdade de polinômios:

{[[K_5 + 1 = 0],[4 + K_4 + 3 K_5 = 0],[6 + K_3 + 2 K_4 + 3 K_5 = 0],[3 + K_3 + K_4 + K_5 = 0]])

{[[K_5 = - 1],[K_4 = - 1],[K_5 = - 1]])

Passo 6

Podemos calcular as inversas das parciais da equação:

(1)/(s (s + 1)^4) = (1)/(s) + (1)/((s + 1)^4) - (1)/((s + 1)^3) - (1)/((s + 1)^2) - (1)/(s + 1)

L^(- 1) {(1)/(s)} = u (t)

L^(- 1) {(1)/((s + 1)^4)} = (t^3 e^(- t))/(6) u (t)

L^(- 1) {(1)/((s + 1)^3)} = (t^2 e^(- t))/(2) u (t)

L^(- 1) {(1)/((s + 1)^2)} = t e^(- t) u (t)

L^(- 1) {(1)/(s + 1)} = e^(- t) u (t)

Logo...

L^(- 1) {(1)/(s (s + 1)^4)} = (u (t) + (t^3 e^(- t))/(6) u (t) - (t^2 e^(- t))/(2) u (t) - t e^(- t) u (t) - e^(- t) u (t))

L^(- 1) {(1)/(s (s + 1)^4)} = ((- (t^3)/(6) - (t^2)/(2) - t) e^(- t) + 1) u (t)

Achou fácil? Tenho ctz que sim, vc é incrível!

Resposta

(a) L^(- 1) {(27)/((s + 1)^3 (s + 4))} = (((9 t^2)/(2) - 3 t + 1) e^(- t) - e^(- 4 t)) u (t)

(b) L^(- 1) {(1)/(s (s + 1)^4)} = ((- (t^3)/(6) - (t^2)/(2) - t) e^(- t) + 1) u (t)