Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 21

Calcule a antitransformada de

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

Essa questão pode ser um pouco trabalhosa, mas tenho ctz que vc vai tirar de letra! 😎

Letra A)

27 s + 1 3 s + 4

Desmembrando em frações parciais, temos.

27 s + 1 3 s + 4 = K 1 s + 1 3 + K 2 s + 1 2 + K 3 s + 1 + K 4 s + 4

Vemos que podemos calcular K 1 e K 4 pelo método dor resíduos.

K 1 = 27 s + 1 3 s + 4 s + 1 3 s = - 1

K 1 = 27 s + 4 s = - 1

K 1 = 9

K 4 = 27 s + 1 3 s + 4 s + 4 s = - 4

K 4 = 27 s + 1 3 s = - 4

K 4 = - 1

Passo 2

Para calcular K 2 e K 3 , vamos encontrar pelo método de igualdade de polinômios.

27 s + 1 3 s + 4 = K 1 s + 1 3 + K 2 s + 1 2 + K 3 s + 1 + K 4 s + 4

27 s + 1 3 s + 4 = 9 s + 1 3 + K 2 s + 1 2 + K 3 s + 1 - 1 s + 4

27 s + 1 3 s + 4 = s + 4 9 + s + 4 s + 1 K 2 + s + 4 s + 1 2 K 3 - ( s + 1 ) ³ s + 1 3 s + 4

27 = s + 4 9 + s + 4 s + 1 K 2 + s + 4 s + 1 2 K 3 - ( s + 1 ) ³

27 = K 3 - 1 s 3 + K 2 + 6 K 3 - 3 s 2 + 6 + 5 K 2 + 9 K 3 s + 35 + 4 K 2 + 4 K 3

Por igualdade de polinômios, podemos afirmar que:

K 3 - 1 = 0 K 2 + 6 K 3 - 3 = 0 6 + 5 K 2 + 9 K 3 = 0 35 + 4 K 2 + 4 K 3 = 27

Logo...

K 3 = 1 K 2 = - 3

Passo 3

Com isso, podemos calcular a antitransformada da equação.

27 s + 1 3 s + 4 = 9 1 s + 1 3 - 3 1 s + 1 2 + 1 s + 1 - 1 s + 4

Suas inversas serão:

L - 1 9 1 s + 1 3 = 9 t 2 e - t 2 u t

L - 1 3 1 s + 1 2 = 3 t e - t u t

L - 1 1 s + 1 = e - t u t

L - 1 1 s + 4 = e - 4 t u t

Por fim, o resultado completo será:

L - 1 27 s + 1 3 s + 4 = 9 t 2 e - t 2 - 3 t e - t + e - t - e - 4 t u t

L - 1 27 s + 1 3 s + 4 = 9 t 2 2 - 3 t + 1 e - t - e - 4 t u t

Passo 4

Letra B), vamos seguir os mesmos passos do item anterior.

1 s s + 1 4

Desmembrando em frações parciais, temos.

1 s s + 1 4 = K 1 s + K 2 s + 1 4 + K 3 s + 1 3 + K 4 s + 1 2 + K 5 s + 1

Podemos calcular K 1 e K 2 , por meio do método dos resíduos:

K 1 = 1 s s + 1 4 s s = 0 → K 1 = 1 s + 1 4 s = 0 → K 1 = 1

K 2 = 1 s s + 1 4 s + 1 4 s = - 1 → K 2 = 1 s s = - 1 → K 2 = - 1

Passo 5

Aplicando o método de igualdade de polinômios, podemos calcular K 3 , K 4 e K 5 .

1 s s + 1 4 = K 1 s + K 2 s + 1 4 + K 3 s + 1 3 + K 4 s + 1 2 + K 5 s + 1

1 s s + 1 4 = 1 s - 1 s + 1 4 + K 3 s + 1 3 + K 4 s + 1 2 + K 5 s + 1

1 s s + 1 4 = s + 1 4 - s + s s + 1 K 3 + s s + 1 ² K 2 + s s + 1 3 K 5 s s + 1 4

1 = s + 1 4 - s + s s + 1 K 3 + s s + 1 ² K 2 + s s + 1 3 K 5

1 = K 5 + 1 s 4 + 4 + K 4 + 3 K 5 s 3 + 6 + K 3 + 2 K 4 + 3 K 5 s 2 + 3 + K 3 + K 4 + K 5 s + 1

Com isso, podemos concluir que por igualdade de polinômios:

K 5 + 1 = 0 4 + K 4 + 3 K 5 = 0 6 + K 3 + 2 K 4 + 3 K 5 = 0 3 + K 3 + K 4 + K 5 = 0

K 5 = - 1 K 4 = - 1 K 5 = - 1

Passo 6

Podemos calcular as inversas das parciais da equação:

1 s s + 1 4 = 1 s + 1 s + 1 4 - 1 s + 1 3 - 1 s + 1 2 - 1 s + 1

L - 1 1 s = u t

L - 1 1 s + 1 4 = t 3 e - t 6 u t

L - 1 1 s + 1 3 = t 2 e - t 2 u t

L - 1 1 s + 1 2 = t e - t u t

L - 1 1 s + 1 = e - t u t

Logo...

L - 1 1 s s + 1 4 = u t + t 3 e - t 6 u t - t 2 e - t 2 u t - t e - t u t - e - t u t

L - 1 1 s s + 1 4 = - t 3 6 - t 2 2 - t e - t + 1 u t

Achou fácil? Tenho ctz que sim, vc é incrível!

Resposta

(a) L - 1 27 s + 1 3 s + 4 = 9 t 2 2 - 3 t + 1 e - t - e - 4 t u t

(b) L - 1 1 s s + 1 4 = - t 3 6 - t 2 2 - t e - t + 1 u t