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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 17

Calcule a antitransformada de Laplace de:

(a) (s)/((s + a) (s + b)) , a != b

(b) (s + 3)/((s + 1) (s + 2))

(c) (2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)

(d) (5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2)

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

Vamos juntar nossos poderes de calcular antitransformada de Laplace para essa questão, para calcular as seguintes inversas...

(a) (s)/((s + a) (s + b)) , a != b

(b) (s + 3)/((s + 1) (s + 2))

(c) (2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)

(d) (5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2)

Então bora, lá!

Passo 2

Letra (a):

(s)/((s + a) (s + b)) , a != b

Vamos calcular pelo método de Heaviside, ou método dos resíduos, ou seja.

(s)/((s + a) (s + b)) = (K_1)/(s + a) + (K_2)/(s + b)

Para K_1 :

K_1 = ((s)/((s + a) (s + b)) (s + a)|_s = - a

K_1 = ((s)/((s + b))|_s = - a

K_1 = - (a)/(b - a)

Para K_2 :

K_2 = ((s)/((s + a) (s + b)) (s + b)|_s = - b

K_2 = ((s)/((s + a))|_s = - b

K_2 = - (b)/(a - b)

Logo...

(s)/((s + a) (s + b)) = (- (a)/(b - a))/(s + a) + (- (b)/(a - b))/(s + b)

(s)/((s + a) (s + b)) = (- a)/(( s + a ) ( b - a )) + (- b)/(( s + b ) ( a - b ))

L^(- 1) {(s)/((s + a) (s + b))} = L^(- 1) {- (a)/(b - a) * (1)/((s + a))} + L^(- 1) {- (b)/(a - b) * (1)/((s + b))}

Resolvendo a primeira parcial.

L^(- 1) {- (a)/(b - a) * (1)/((s + a))} = (a)/(a - b) e^(- a t) u (t)

Resolvendo a segunda parcial.

L^(- 1) {- (b)/(a - b) * (1)/((s + b))} = - (b)/(a - b) e^(- b t) u (t)

Juntando as duas parciais, temos.

L^(- 1) {(s)/((s + a) (s + b))} = (a)/(a - b) e^(- a t) u (t) - (b)/(a - b) e^(- b t) u (t)

L^(- 1) {(s)/((s + a) (s + b))} = (a e^(- a t) u (t) - b e^(- b t) u (t))/(a - b) .

Passo 3

Na letra (b).

(s + 3)/((s + 1) (s + 2)) = (s)/((s + 1) (s + 2)) + (3)/((s + 1) (s + 2))

Analisando a primeira parcial, vemos que ela se parece muito com a letra (a), então de certa forma, já resolvemos ela.

L^(- 1) {(s)/((s + a) (s + b))} = (a e^(- a t) u (t) - b e^(- b t) u (t))/(a - b)

L^(- 1) {(s)/((s + 1) (s + 2))} = (1 e^(- 1 t) u (t) - 2 e^(- 2 t) u (t))/(1 - 2) = (2 e^(- 2 t) - e^(- t)) u (t)

Para a segunda parcial, vamos usar o mesmo método de resolução.

(3)/((s + 1) (s + 2)) = (K_1)/(s + 1) + (K_2)/(s + 2)

Calculando K_1 .

K_1 = ((3)/((s + 1) (s + 2)) (s + 1)|_s = - 1

K_1 = ((3)/((s + 2))|_s = - 1

K_1 = 3

Calculando K_2 .

K_2 = ((3)/((s + 1) (s + 2)) (s + 2)|_s = - 2

K_2 = ((3)/((s + 1))|_s = - 2

K_2 = - 3

Dessa forma.

(3)/((s + 1) (s + 2)) = (3)/(s + 1) - (3)/(s + 2)

A inversa de Laplace dessa parcial, vai ser...

L^(- 1) {(3)/((s + 1) (s + 2))} = L^(- 1) {(3)/(s + 1)} - L^(- 1) {(3)/(s + 2)}

L^(- 1) {(3)/((s + 1) (s + 2))} = (3 e^(- t) - 3 e^(- 2 t)) u (t)

Juntando todas as parciais, temos.

L^(- 1) {(s + 3)/((s + 1) (s + 2))} = L^(- 1) {(s)/((s + 1) (s + 2))} + L^(- 1) {(3)/((s + 1) (s + 2))}

L^(- 1) {(s + 3)/((s + 1) (s + 2))} = (2 e^(- 2 t) - e^(- t)) + (3 e^(- t) - 3 e^(- 2 t))

L^(- 1) {(s + 3)/((s + 1) (s + 2))} = (2 e^(- t) - e^(- 2 t)) u (t) .

Passo 4

Na letra (c).

(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s) = (2 s ²)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s) - (12)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)

Analisando a primeira parcial.

(2 s ²)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s) = (2 s)/(s^2 + 4 s + 3) = (2 s)/((s + 1) (s + 3)) = (K_1)/(s + 1) + (K_2)/(s + 3)

Aplicando o método de Heaviside, encontraremos K_1 e K_2 .

K_1 = ((2 s)/((s + 1) (s + 3)) (s + 1)|_s = - 1

K_1 = ((2 s)/((s + 3))|_s = - 1

K_1 = - 1

K_2 = ((2 s)/((s + 1) (s + 3)) (s + 3)|_s = - 3

K_2 = ((2 s)/((s + 1))|_s = - 3

K_2 = 3

Dessa forma...

(2 s ²)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s) = - (1)/(s + 1) + (3)/(s + 3)

Resolvendo a outra parcial.

(12)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s) = (12)/(s (s^2 + 4 s + 3)) = (12)/(s (s + 1) (s + 3)) = (K_1)/(s) + (K_2)/(s + 1) + (K_3)/(s + 3)

Resolvendo K_1 :

K_1 = ((12)/(s (s + 1) (s + 3)) s|_s = 0

K_1 = ((12)/((s + 1) (s + 3))|_s = 0

K_1 = 4

Resolvendo K_2 :

K_2 = ((12)/(s (s + 1) (s + 3)) (s + 1)|_s = - 1

K_2 = ((12)/(s (s + 3))|_s = - 1

K_2 = - 6

Resolvendo K_3 :

K_3 = ((12)/(s (s + 1) (s + 3)) (s + 3)|_s = - 3

K_3 = ((12)/(s (s + 1))|_s = - 3

K_3 = 2

Dessa forma...

(12)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s) = (4)/(s) - (6)/(s + 1) + (2)/(s + 3)

Aplicando a inversa no que encontramos, temos o seguinte.

L^(- 1) {(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} = L^(- 1) {(2 s^2)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} - L^(- 1) {(12)/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)}

L^(- 1) {(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} = L^(- 1) {- (1)/(s + 1) + (3)/(s + 3)} - L^(- 1) {(4)/(s) - (6)/(s + 1) + (2)/(s + 3)}

L^(- 1) {(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} = - L^(- 1) {(1)/(s + 1)} + L^(- 1) {(3)/(s + 3)} - L^(- 1) {(4)/(s)} + L^(- 1) {(6)/(s + 1)} - L^(- 1) {(2)/(s + 3)}

L^(- 1) {(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} = - e^(- t) u (t) + 3 e^(- 3 t) u (t) - 4 u (t) + 6 e^(- t) u (t) - 2 e^(- 3 t) u (t)

L^(- 1) {(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} = 5 e^(- t) u (t) + e^(- 3 t) u (t) - 4 u (t) .

Passo 5

Por fim, letra (d).

(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2) = (5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s ² ( s^2 + 1 )) = (K_1)/(s^2) + (K_2)/(s) + (K_3 s)/(s^2 + 1) + (K_4)/(s^2 + 1)

Calculando K_1 :

K_1 = ((5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^2 (s^2 + 1)) s^2|_s = 0

K_1 = ((5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/((s^2 + 1))|_s = 0

K_1 = - 1

Calculando K_3 :

(K_3 s)/(s^2 + 1) = ((5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^2 (s^2 + 1))|_s = 1

K_3 = ((5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^3)|_s = 1

K_3 = 3

Calculando K_2 e K_4 :

Esse truque é muito bom, anota aí!

(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^2 (s^2 + 1)) = (K_1)/(s^2) + (K_2)/(s) + (K_3 s)/(s^2 + 1) + (K_4)/(s^2 + 1)

(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^2 (s^2 + 1)) = (- 1)/(s^2) + (K_2)/(s) + (3 s + K_4)/(s^2 + 1)

Resolvendo o MMC no lado direito, temos.

(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^2 (s^2 + 1)) = (- 1 (s^2 + 1) + K_2 s (s^2 + 1) + s ² ( 3 s + K_4 ))/(s^2 (s^2 + 1))

5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1 = - 1 (s^2 + 1) + K_2 s (s^2 + 1) + s^2 (3 s + K_4)

5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1 = - s^2 - 1 + K_2 s^3 + K_2 s + 3 s ³ + K_4 s ²

5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1 = s^3 (K_2 + 3) + s^2 (K_4 - 1) + K_2 s - 1

Por igualdade de polinômios os termos que multiplicam s ³ devem ser iguais, assim como em s ² e s . Logo.

K_2 + 3 = 5

K_2 = 2

K_4 - 1 = - 3

K_4 = - 2

Dessa forma.

(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2) = (- 1)/(s^2) + (2)/(s) + (3 s)/(s^2 + 1) + (- 2)/(s^2 + 1)

Aplicando a transformada inversa, temos...

L^(- 1) {(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2)} = L^(- 1) {(- 1)/(s^2)} + L^(- 1) {(2)/(s)} + L^(- 1) {(3 s)/(s^2 + 1)} + L^(- 1) {(- 2)/(s^2 + 1)}

L^(- 1) {(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2)} = - L^(- 1) {(1)/(s^2)} + 2 L^(- 1) {(1)/(s)} + 3 L^(- 1) {(s)/(s^2 + 1)} - 2 L^(- 1) {(1)/(s^2 + 1)}

L^(- 1) {(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2)} = - t^2 u (t) + 2 u (t) + 3 cos (t) u (t) - 2 s e n (t) u (t) .

Achou tranquilo? Tenho ctz que sim! Bora pra mais uma!

Resposta

(a) L^(- 1) {(s)/((s + a) (s + b))} = (a e^(- a t) u (t) - b e^(- b t) u (t))/(a - b) .

(b) L^(- 1) {(s + 3)/((s + 1) (s + 2))} = (2 e^(- t) - e^(- 2 t)) u (t)

(c) L^(- 1) {(2 (s^2 - 6))/(s^3 + 4 s^2 + 3 s)} = 5 e^(- t) u (t) + e^(- 3 t) u (t) - 4 u (t)

(d) L^(- 1) {(5 s^3 - 3 s^2 + 2 s - 1)/(s^4 + s^2)} = - t^2 u (t) + 2 u (t) + 3 cos (t) u (t) - 2 s e n (t) u (t)