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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 17

Calcule a antitransformada de Laplace de:

a s s + a s + b ,   a ≠ b

b s + 3 s + 1 s + 2

c 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s

d 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

Vamos juntar nossos poderes de calcular antitransformada de Laplace para essa questão, para calcular as seguintes inversas...

a s s + a s + b ,   a ≠ b

b s + 3 s + 1 s + 2

c 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s

d 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2

Então bora, lá!

Passo 2

Letra (a):

s s + a s + b ,   a ≠ b

Vamos calcular pelo método de Heaviside, ou método dos resíduos, ou seja.

s s + a s + b = K 1 s + a + K 2 s + b

Para K 1 :

K 1 = s s + a s + b s + a s = - a    

K 1 = s s + b s = - a

K 1 = - a b - a

Para K 2 :

K 2 = s s + a s + b s + b s = - b

K 2 = s s + a s = - b

K 2 = - b a - b

Logo...

s s + a s + b = - a b - a s + a + - b a - b s + b

s s + a s + b = - a ( s + a ) ( b - a ) + - b ( s + b ) ( a - b )

L - 1 s s + a s + b = L - 1 - a b - a · 1 s + a + L - 1 - b a - b · 1 s + b

Resolvendo a primeira parcial.

L - 1 - a b - a · 1 s + a = a a - b e - a t u t

Resolvendo a segunda parcial.

L - 1 - b a - b · 1 s + b = - b a - b e - b t u t

Juntando as duas parciais, temos.

L - 1 s s + a s + b = a a - b e - a t u t - b a - b e - b t u t

L - 1 s s + a s + b = a e - a t u t - b e - b t u t a - b .

Passo 3

Na letra (b).

s + 3 s + 1 s + 2 = s s + 1 s + 2 + 3 s + 1 s + 2

Analisando a primeira parcial, vemos que ela se parece muito com a letra (a), então de certa forma, já resolvemos ela.

L - 1 s s + a s + b = a e - a t u t - b e - b t u t a - b

L - 1 s s + 1 s + 2 = 1 e - 1 t u t - 2 e - 2 t u t 1 - 2 = 2 e - 2 t - e - t u t

Para a segunda parcial, vamos usar o mesmo método de resolução.

3 s + 1 s + 2 = K 1 s + 1 + K 2 s + 2

Calculando K 1 .

K 1 = 3 s + 1 s + 2 s + 1 s = - 1

K 1 = 3 s + 2 s = - 1

K 1 = 3

Calculando K 2 .

K 2 = 3 s + 1 s + 2 s + 2 s = - 2

K 2 = 3 s + 1 s = - 2

K 2 = - 3

Dessa forma.

3 s + 1 s + 2 = 3 s + 1 - 3 s + 2

A inversa de Laplace dessa parcial, vai ser...

L - 1 3 s + 1 s + 2 = L - 1 3 s + 1 - L - 1 3 s + 2

L - 1 3 s + 1 s + 2 = 3 e - t - 3 e - 2 t u t

Juntando todas as parciais, temos.

L - 1 s + 3 s + 1 s + 2 = L - 1 s s + 1 s + 2 + L - 1 3 s + 1 s + 2

L - 1 s + 3 s + 1 s + 2 = 2 e - 2 t - e - t + 3 e - t - 3 e - 2 t

L - 1 s + 3 s + 1 s + 2 = 2 e - t - e - 2 t u t .

Passo 4

Na letra (c).

2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = 2 s ² s 3 + 4 s 2 + 3 s - 12 s 3 + 4 s 2 + 3 s

Analisando a primeira parcial.

2 s ² s 3 + 4 s 2 + 3 s = 2 s s 2 + 4 s + 3 = 2 s s + 1 s + 3 = K 1 s + 1 + K 2 s + 3

Aplicando o método de Heaviside, encontraremos K 1 e K 2 .

K 1 = 2 s s + 1 s + 3 s + 1 s = - 1

K 1 = 2 s s + 3 s = - 1

K 1 = - 1

K 2 = 2 s s + 1 s + 3 s + 3 s = - 3

K 2 = 2 s s + 1 s = - 3

K 2 = 3

Dessa forma...

2 s ² s 3 + 4 s 2 + 3 s = - 1 s + 1 + 3 s + 3

Resolvendo a outra parcial.

12 s 3 + 4 s 2 + 3 s = 12 s s 2 + 4 s + 3 = 12 s s + 1 s + 3 = K 1 s + K 2 s + 1 + K 3 s + 3

Resolvendo K 1 :

K 1 = 12 s s + 1 s + 3 s s = 0

K 1 = 12 s + 1 s + 3 s = 0

K 1 = 4

Resolvendo K 2 :

K 2 = 12 s s + 1 s + 3 s + 1 s = - 1

K 2 = 12 s s + 3 s = - 1

K 2 = - 6

Resolvendo K 3 :

K 3 = 12 s s + 1 s + 3 s + 3 s = - 3

K 3 = 12 s s + 1 s = - 3

K 3 = 2

Dessa forma...

12 s 3 + 4 s 2 + 3 s = 4 s - 6 s + 1 + 2 s + 3

Aplicando a inversa no que encontramos, temos o seguinte.

L - 1 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = L - 1 2 s 2 s 3 + 4 s 2 + 3 s - L - 1 12 s 3 + 4 s 2 + 3 s

L - 1 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = L - 1 - 1 s + 1 + 3 s + 3 - L - 1 4 s - 6 s + 1 + 2 s + 3

L - 1 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = - L - 1 1 s + 1 + L - 1 3 s + 3 - L - 1 4 s + L - 1 6 s + 1 - L - 1 2 s + 3

L - 1 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = - e - t u t + 3 e - 3 t u t - 4 u t + 6 e - t u t - 2 e - 3 t u t

L - 1 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = 5 e - t u t + e - 3 t u t - 4 u t .

Passo 5

Por fim, letra (d).

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2 = 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s ² ( s 2 + 1 ) = K 1 s 2 + K 2 s + K 3 s s 2 + 1 + K 4 s 2 + 1

Calculando K 1 :

K 1 = 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 2 s 2 + 1 s 2 s = 0

K 1 = 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 2 + 1 s = 0

K 1 = - 1

Calculando K 3 :

K 3 s s 2 + 1 = 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 2 s 2 + 1 s = 1

K 3 = 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 3 s = 1

K 3 = 3

Calculando K 2 e K 4 :

Esse truque é muito bom, anota aí!

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 2 s 2 + 1 = K 1 s 2 + K 2 s + K 3 s s 2 + 1 + K 4 s 2 + 1

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 2 s 2 + 1 = - 1 s 2 + K 2 s + 3 s + K 4 s 2 + 1

Resolvendo o MMC no lado direito, temos.

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 2 s 2 + 1 = - 1 s 2 + 1 + K 2 s s 2 + 1 + s ² ( 3 s + K 4 ) s 2 s 2 + 1

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 = - 1 s 2 + 1 + K 2 s s 2 + 1 + s 2 3 s + K 4

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 = - s 2 - 1 + K 2 s 3 + K 2 s + 3 s ³ + K 4 s ²

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 = s 3 K 2 + 3 + s 2 K 4 - 1 + K 2 s - 1

Por igualdade de polinômios os termos que multiplicam s ³ devem ser iguais, assim como em s ² e s . Logo.

K 2 + 3 = 5

K 2 = 2

K 4 - 1 = - 3

K 4 = - 2

Dessa forma.

5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2 = - 1 s 2 + 2 s + 3 s s 2 + 1 + - 2 s 2 + 1

Aplicando a transformada inversa, temos...

L - 1 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2 = L - 1 - 1 s 2 + L - 1 2 s + L - 1 3 s s 2 + 1 + L - 1 - 2 s 2 + 1

L - 1 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2 = - L - 1 1 s 2 + 2 L - 1 1 s + 3 L - 1 s s 2 + 1 - 2 L - 1 1 s 2 + 1

L - 1 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2 = - t 2 u t + 2 u t + 3 cos ⁡ t u t - 2 s e n t u t .

Achou tranquilo? Tenho ctz que sim! Bora pra mais uma!

Resposta

(a) L - 1 s s + a s + b = a e - a t u t - b e - b t u t a - b .

(b) L - 1 s + 3 s + 1 s + 2 = 2 e - t - e - 2 t u t

(c) L - 1 2 s 2 - 6 s 3 + 4 s 2 + 3 s = 5 e - t u t + e - 3 t u t - 4 u t

(d) L - 1 5 s 3 - 3 s 2 + 2 s - 1 s 4 + s 2 = - t 2 u t + 2 u t + 3 cos ⁡ t u t - 2 s e n t u t